32.Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида ( ), ), а так же неопределенностей к ним сводящимся. Теорема: Пусть ф-ии f(x) и g(x) при х→х0 или х→∞ совместно стремятся к 0 или к ∞. Тогда, если отношение их производных имеет предел, то отношение самих ф-ий также имеет предел, равный пределу отношения производных. lim∆x-х0 f(x)/g(x)= lim∆x-х0 f ʹ(x)/gʹ(x) Замечания! 1) Если после правила Лопиталя вновь получена неопределенность, то правило можно применить ещё раз к полученному пределу.

Правило Лопиталя так же применимо к раскрытию неопределенности (∞-∞), (0*∞), (0 ( ), (∞ ), но лишь после приведения их к неопределенности (0/0), (∞/∞). lim(f(x))^g(x)=(0 )=A, ln(limx-x0(f(x))^g(x))=lnA, lnA=limx-x(g(x)*ln f(x))=(0*∞).

33. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных ф-ии по формуле Маклорена.

Пусть ф-ия f(x) дифференцируема n+1 раз в некотором интервале, содержащем т. а. Тогда, f(x) может быть представлена в виде суммы членов n-ой степени и остаточного члена Rn. f(x)= f(a)+(f ʹ(a)/1!)*(x-a)+(f ʹʹ(a)/2!)*(x-a)²+…+(f ⁽ⁿ⁾(a)/n!)*(x-a)ⁿ+Rn. Rn=(f ⁿ⁺¹*c)/(n+1)!*(x-a)ⁿ⁺¹, с -лежит между точками а и х, Rn-остаточный член. При а=0 получим формулу Маклорена: f(x)= f(0)+(f ʹ(0)/1!)*x+(f ʹʹ(0)/2!)*x²+…+(f ⁿ(0)/n!)*xⁿ+Rn. Rn=(f ⁿ⁺¹*c)/(n+1)!*xⁿ⁺¹

34. Экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума (с доказательством).

Ф-я y=f(x) имеет точки х₀ максимум, если существует окрестность (p; q) этой точки такая, что для всех х из этой окрестности ≠ х₀, выполняется неравенство f(х₀)>f(x). M(х₀; f(х₀) точка максимума.

Ф-я y=f(x) имеет точки х₀ минимум, если существует окрестность (p; q) этой точки такая, что для всех х из этой окрестности ≠ х₀, выполняется неравенство f(х₀)<f(x). M(х₀; f(х₀) точка минимума.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Ф-я на отрезке [a, в] может иметь несколько точек экстремума. ТЕОРЕМА(необходимый признак существования экстремума): Если ф-я f(x) дифференцируема на (а, в), число х₀ϵ (а, в) и имеет в этой точке экстремум, то f’(x₀)=0. Док-во: Пусть f(x₀) является максимумом функции f, тогда . Переходя к пределу, получаем f’(x₀)= Так как по условию теоремы при x = x₀ производная функции f существует, то f'(x₀) = 0. Аналогично доказывается, что если f(x₀) является минимумом функции f , то f'(x₀) = 0.

35.Признаки возрастания и убывания ф-ии.(док-во)

Ф-ия у=f(х) наз возрастающей на [a;b], если для любых знач х1, х2 [a;b] таких, что х1 х2 верно неравенство f(x1) <f(x2)

Ф-ия у=f(х) наз убывающей на [a;b], если для любых знач х1, х2∈[a;b] таких, что х1<х2 верно неравенство f(x1) f(x2)

Если ф-ия f(х) возрастает или убывает на [a;b], то она наз монотонной на этом отрезке.

ТЕОРЕМА1(необходимый признак возраст, убыв ф-ии): 1) Если ф-ия f(х) возрастает на (a;b) и дифференцируема в каждой точке этого интервала f ʹ(х) , х (a;b) 2) Если ф-ия f(х) убывает на (a;b) и дифференцируема в каждой точке этого интервала f ʹ(х) 0, х∈(a;b) 3) Если ф-ия f(х)=const на (a;b), то f ʹ(х)=0, х∈(a;b). Док-во:1) Пусть f(х) возрастает на (a;b) х1, х2∈(a;b). х1 х2→ f(х1) < f(х2). Пусть х1=х, х2=х+∆x(∆x>0), f(х)< f(х+∆x) → f(х+∆x)-f(х)>0, ∆у/∆х= (f(х+∆x)-f(х))/∆x>0, т.к ∆у>0, ∆x>0. При переходе к пределу в неравенстве имеем: lim∆x-0 ∆y/∆x≥0, следовательно f ʹ(х)≥0.

ТЕОРЕМА2(достаточный признак возрастающей ф-ии): 1) Если производная дифференцированной ф-ии положительна в каждой точке (a;b), то ф-ия на этом интервале возрастает. 2) Если производная дифференцированной ф-ии отрицательна в каждой точке (a;b), то ф-ия на этом интервале убывает. 3) Если производная дифференцированной ф-ии равна 0 в каждой точке (a;b), то ф-ия на этом интервале явл константной. Док-во:1) Пусть f ʹ(х)>0 для всех х из (a;b), х1, х2∈(a;b), х1<х2. Тогда, по теореме Лагранжа существует с∈(х1;х2) и выполняется (f(х1)- f(х2))/(х1-х2)- f ʹ(с) → f(х2)-f(х1)= f ʹ(с)(х2-х1), т.к f ʹ(с)>0, по условию теоремы х2-х1>0, то f(х2)-f(х1)>0, следовательно f(х1)< f(х2). х1<х2→ f(х1)< f(х2), то есть f(х)-возрастает.