4. Числовые функции, способы их задания. Основные элементарные ф-ии и их св-ва.

Если каждому значению хϵХ, соответствует определенное значение уϵУ, то у наз. функцией от х. (y=f(x); y=y(x)). Х - область определения Д(у) – значения аргумента х; У -область значений Е(у) – значения у. Графиком ф-ии y=f(x) наз. совокупность всех точек плоскости с координатами (х; у), хϵХ.

Аналитический способ-формула; графический; табличный.

Свойства основных элементарных функций(показательная у=а^х; степенная у=х^а; логарифмическая, тригонометрическая): обл. определения и значений ф-ии; четность f(x)=f(-х)/нечетность; периодичность; нули ф-ии; интервалы монотонности, т. экстремума; интервалы выпуклости и вогнутости, т. перегиба; вертикальные и наклонные асимптоты.

5. Комплексные числа.

Выражение вида z=x+iy, где х,у- действительные числа, i-мнимая единица.

i²= -1 называется комплексным числом(алгебраическая форма записи). Действительные числа х, у называются действительной и мнимой частями комплексного числа (x=ReZ, y=ImZ)

Два комплексных числа считаются равными если одновременно равны их действительные и мнимые части.

Геометрически КЧ z=x+iy изображается либо точкой в плоскости Оху с координатами (х; у), либо (радиус-вектором) r с проекцией {х; у}. Если КЧ z является действительным(z=x), то соответсвт-я точка лежит на оси Ох, поэтому ось абсцисс наз. действительной осью. Чисто мнимые числа z=iy изображаются точками на оси Оу, поэтому ось ординат наз. мнимой осью. Два КЧ называются взаимно сопряженными, когда одинаковы их действ. части и противоположны по знаку мнимые (z=x+iy; z1=x-iy). Положительное число ׀вектор r׀=r, равное в длине радиус-вектора r, соответствующее КЧ z=x+iy наз. модулем: r =

Угол между положительным направлением оси х и радиусом r наз. аргументом КЧ z и обозн. Arg z= (-П arg z П). cos φ=x/r, sin φ=y/r z=r(cos φ+i sin φ). Показательная форма (формула Эйлера): = cos φ+i sin φ→z=r

Действия над КЧ:1) Применение вводимых операций должно давать тот же результат, что и в арифметике действительных чисел. 2) Вводимые операции должны удовлетворять обычным аксиомам арифметики действительных чисел. Сумма/ разность: z1 z2=(x1±x2)+i(y1±y2); произведение: z1*z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1), z1=r1(cos φ1+isin φ1)=r1e^iφ1 и z2=r2(cos φ2+isinφ2) = r2e^iz1=r1φ2 z1*z2 = r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)) = r1r2^i(φ1+φ2); частное: = , при делении КЧ, заданной в алгебраической форме, числитель и знаменатель дроби умножают на число сопряженное знаменателю, далее выделяют мнимые и действительные части, cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)), = e^{i(φ1- φ2)}

Из правила умножения КЧ следует, что возведение КЧ в положительную целую степень n, а аргумент умножается на n. zⁿ=(re^iφ)ⁿ=rⁿe^inφ, zⁿ=(r(cos φ+i sin φ))ⁿ=rⁿ(cos (nφ)+i sin(nφ)). Из последнего равенства следует формула Муавра: (cos φ+i sin φ)ⁿ=cos (nφ)+i sin(nφ)