3. Вимога несуперечності системи аксіом. Ідея доведення.

Опр. Система аксиом наз. Непротиворечивой, если из нее нельзя вывести два противоречащих предложения F и .

Система аксиом считается непротиворечивой, если удается построить какую-нибудь ее модель. При исследовании аксиом геометрии важную роль играет, так называемые арифметические модели, т.е. вопрос о непротиворечивости сводится к вопросу о непротиворечивости теории действительных чисел, а она принимается на веру.

4. Вимога незалежності системи аксіом. Теорема.

Опр. Система аксиом наз. Независимой, если никакая из аксиом системы не явл. Следствием остальных систем аксиом.

Теорема

Пусть дана система аксиом аксиома не зависит от остальных аксиом системы , если система аксиом непротиворечива.

Док-во. (1)

А: - непротиворечива

В: не зависит от

Вместо (1), докажим (2): . Пусть следует из остальных аксиом системы ,т.е. явл. Теоремой в аксиоматической теории построенное на базе , тогда в этой теории справедливо предложение: как теорема и как аксиома значит противоречива, значит наше не зависит от остальных аксиом.

5 Вимога повноти систем аксіом, теорема (доведення).Приклади повних и не повних систем аксіом.

С-ма аксиом наз. полной относительно данного списка неопределяемых понятий если ее нельзя дополнить новым предложением F с такими свойствами:

1) = непротиворечива

2) F не зависит от аксиом системы

3)F не вводит новых неопределяемых понятий.

Th С-ма аксиом будет полной если все ее интерпритации изоморфны.

A: все интерпритации изоморфны

В: система полная

Доказательство: методом от противного пусть - система не полная по определению при чем - непротиворечива - непротиворечива

Рассмотрим модели и они будут так же моделями с-мы . Но они не могут быть изоморфными, т.к. в одной выполняется предложение F, а в другой .

26.Поняття про сферичну геометрію

Сферична геометрія - розділ геометрії, що вивчає геометричні фігури на поверхні сфери. Сферична геометрія виникла в давнину в зв'язку з потребами географії та астрономії.

1. Основні поняття

Через будь-які дві точки на поверхні сфери (крім діаметрально протилежних) можна провести єдиний великий круг. Це коло дає окружність, утворену перетином сфери та площині, що проходить через її центр. Великі кола на поверхні сфери відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Будь-які два великих кола перетинаються по прямій проходить через центр сфери, а кола, про які було сказано вище, перетинаються в двох діаметрально протилежних точках.

При перетині двох великих кіл утворюються чотири сферичних двуугольніка. Площа двуугольніка визначається формулою S = 2 R² α , Де R - Радіус сфери, а α - Кут двуугольніка.

Три великих кола, не перетинаються в одній точці, утворюють вісім сферичних трикутників. Сферичний трикутник, всі сторони якого менше половини великого кола, називається ейлеровим. Крім трьох ознак рівності плоских трикутників, для сферичних трикутників має місце ще один: два сферичних трикутника рівні, якщо їх відповідні кути рівні.

Сторони сферичного трикутника вимірюють величиною кута, утвореного радіусами сфери, проведеними до кінців даної сторони. Кожна сторона сферичного трикутника менше суми і більше різниці двох інших. Сума всіх сторін сферичного трикутника завжди менше 2π . Сума кутів сферичного трикутника s = α + β + γ завжди менше 3π і більше π . Величина s - π = εназивається сферичним надлишком. Площа сферичного трикутника визначається за формулою Жирара S = R ² ε .

Співвідношення між елементами сферичного трикутника вивчає сферична тригонометрія

Властивості трикутників в сферичній геометрії

Властивості сферичних трикутників багато в чому від властивостей трикутників на площині. Так, до відомим трьом випадків рівності прямолінійних трикутників додається четвертий: два трикутника АВС іА`В`С` рівні, якщо рівні відповідно три кута А = А`, У = У`, З = З`. Отже, на сфері немає подібних трикутників, більше, в сферичної геометрії немає поняття подоби,т.к. немає перетворень, змінюють все відстані в однакове (нерівний 1) число раз. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідовій аксіоми про паралельних прямих і притаманні геометрії Лобачевського.Треугольники, мають рівні елементи та різноманітну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутникиАС`С і ССС` Сума кутів будь-якого сферичного трикутника більше 180 . Різниця А+ У + З – = (яка вимірюється в радіанах) – величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника. Площа сферичного трикутника: P.S =R2 де R – радіус сфери, а – сферичний надлишок. 

Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні землі.