Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Д оказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMN<S_секOMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

№26.Второй земечательный предел

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx<n+1

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

№27.Задачи, приводящие к понятию производной

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;

б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x₀; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х₀;

в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;

г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом;

д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

№28.Производная, ее геометрический, механичечский смысл

Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.

Правила нахождения производной

1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента : .

2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .

3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: .

4. Переходят к пределу при и находят производную:

Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.

Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .

Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

№29.Ур-е косательной и нормали к плоскости кривой

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x₀, y₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x₀), то получаем уравнение y= f'(x₀)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x₀, y₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y₀= f'(x₀)·x₀ + b. Отсюда b=y₀– f'(x₀)·x₀.

Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x₀)·x +y₀ – f'(x₀)·x₀ или

y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)

Если касательная, проходящая через точку М(x₀,y₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x₀.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

И з определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:

.

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x₀, y₀), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x₀.

№30.Основные правила дифференцирования

Пусть заданы две функции и , которые имеют про­из­вод­ные в точке .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

2. Производная произведения равна . Покажем спра­вед­ли­вость этого равенства.

Если, как в первом случае, дать приращение , то функции u и v также получат приращение, следовательно, и функция тоже изменится. Найдем .

.

3. Производная частного. Рассмотрим функцию , причем, кроме су­щес­твования производных в точке для функций и необходимо по­ло­жить, что в точке отлична от нуля. Найдем . и тогда из определения производной имеем .

4. Производная сложной функции. Пусть дана , где . Тогда имеет место теорема, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема. Если функция имеет в точке производную и функция имеет в точке производную , тогда сложная функция имеет в точке производную, равную

5. Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция . При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке . Покажем один из способов нахождения производной функции , если очень сложная функция и по обычным правилам диф­фе­рен­цирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производную

.

Отношение называется логарифмической производной функции . Из формулы получаем .Формула дает простой способ нахождения производной функции .

6. Производная обратной функции.

Теорема. Если имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношени .

№31.Производные тригонометрической ф-и

  31.Производные тригонометрических функций. Тригонометри́ческие фу́нкции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят си́нус (sin x), ко́синус (cos x), та́нгенс (tg x), кота́нгенс (ctg x), се́канс (sec x) и косе́канс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна.

32.Производная обратных тригонометрических функций. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус (обозначение: arcsin) аркко́синус (обозначение: arccos) аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan) арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)

. . . .

33)Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением

Для натурального логарифма y = ln x производная равна