7. Уравнение прямой в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

8. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности

1. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

2. Пересекающиеся прямые. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

3. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

4. Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). В зависимости от величины углы разделяются на: * Острые углы (от 0 до 90°) * Прямой угол (90°) * Тупые углы (от 90° до 180°) * Развернутый угол (180°) * Невыпуклый угол (от 180° до 270°) Смежными называются два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма градусных мер смежных углов равна 180°. Два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон, называются вертикальными. Два вертикальных угла равны.

Y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

K1=K2 – условие параллельности

K1=-1/K2 – условие перпендикулярности

9. Уравнение плоскости. Частые случаи общего уравнения плоскости.

Стандартное уравнение плоскости - Ax + By + Cz + D = 0

Уравнение плоскости по трем точкам (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) можно получить из следующих опрееделителей:

Раскрывая, получаем

A = y1 (z2 - z3) + y2 (z3 - z1) + y3 (z1 - z2)

B = z1 (x2 - x3) + z2 (x3 - x1) + z3 (x1 - x2)

C = x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)

D = x1 (y2 z3 - y3 z2) + x2 (y3 z1 - y1 z3) + x3 (y1 z2 - y2 z1)

Следует заметить, что, если все точки лежат на одной прямой, то (A,B,C) будет (0,0,0).

Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны по отношению к плоскости находится точка (x,y,z). Если s > 0, то точка лежит в той стороне, куда указывает нормальный вектор (A,B,C). Если s < 0 - на противаположной стороне, а в случае s = 0 точка принадлежит плоскости.

Альтернативный способ задания

Если вектор N перпендикулярен плоскости, то все принадлежащие ей точки p удовлетворяют равенству

N . p = k

где . - скалярное произведение двух векторов.

т.е: a . b = (ax,ay,az) . (bx,by,bz) = ax bx + ay by + az bz

Если точка a принадлежит плоскости, то N *(p - a) = 0