1. Понятие вектора, коллинеарность и компланарность векторов. Вектор (геометрия) в геометрии — направленный отрезок. Вектор (алгебра) в линейной алгебре — элемент линейного пространства (частный случай тензора).

Векторы а1, а2, … , аn коллинеарны, если существует прямая l, содержащая реализацию каждого из них.  Коллинеарные векторы а и b одинаково направлены, если ОАа, ОВb и т. А и В лежат по одну сторону от т. О. Коллинеарные векторы а и b разнонаправлены, если ОАа, ОВb и т. А и В лежат по разные стороны от т. О. Векторы а1, а2, … , аn компланарны, если существует плоскость в пространстве, содержащая реализацию каждого из них. Любые два свободных вектора компланарны. Нулевой вектор имеет реализацию на любой плоскости в пространстве. Следовательно, три вектора: а, b, θ всегда компланарны.

2. Действия над вект. Правило треугольника и параллелограмма. Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора . В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник. Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника». Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е. . Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм. Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

3. Координаты векторов. Действия над векторами. Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. Действия над векторами, заданными своими координатами. , . При сложении векторов их соответстветственные координаты складываются.

, . При вычитании векторов их соответстветственные координаты вычитаются.

, . При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

4. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Условие параллельности или перпендикулярности векторов.

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Пример. Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так:

5. Условие перпендикулярности векторов

• Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

• Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

Вектора параллельны, если их векторное произведение равно нулю

6. Уравнение прямой на плоскости. Основные задачи на прямую на плоскости.

 Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В  0, С  0 { By

+ C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Если хотя бы один из коэффициентов А, В,С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи: 1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат 2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ 3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ 4 А=0, С=0 L: By=0(y=0(L=OX 5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY 6 A ( 0, В ( 0, С ( 0 L; - не проходит через начало координат и пересекает обе оси.

Уравнение прямой　на плоскости, проходящей через две заданные точки и :