4. Линейная парная регрессия.

Линейная парная регрессия вполне обосновано может быть принята, если между фактором и показателем сильная истинная. Модель данной регрессии будем рассматривать в виде: ŷ = a+bx или y = ŷ_i + . В этой модели параметр b показывает среднее изменение показателя y с изменением фактора x на одну единицу.

Для того чтобы модель приняла конкретный вид необходимо оценить параметры модели.

5. Оценка параметров модели.

Для оценки параметров могут быть использованы различные методы:

Подбор параметров a и b путем поиска по диаграмме рассеяния системы точек и прямой задаваемой уравнением y=a+bx.

Пусть в процессе наблюдения мы будем наблюдать невязку, т.е.

Причем невязки могут быть как положительными, так и отрицательными. При изменении значимости невязок будет изменена их алгебраическая сумма, она может возрастать или убывать. Идеальным случаем для оценки невязок является, когда .

Этот процесс является трудоемким и длительным, поэтому в эконометрике для оценки параметров a и b используют метод наименьших квадратов.

Для применения МНК составляется функция:

Поскольку здесь решается вопрос по экстремуму функций двух неизвестных, то применяется необходимое условие экстремума, вычислим частные производные по каждому из параметров и приравняем к нулю:

Преобразуя и решая эту систему, получим:

Окончательно получим:

(1)

Для вычисления параметров a и b достаточно использовать формулы (1) и исходные данные таблицы 1. Таким образом, найденные a и b позволяет записать конкретную модель регрессии. Полученная модель регрессии подлежит оценки на значимость.

6. Оценка значимости модели регрессии.

Оценка модели на значимость осуществляется в целом и по параметрам, но прежде необходимо вычислить следующие суммы квадратов разности:

• – общая сумма квадратов отклонений изучаемого показателя y от его среднего арифметического значения

• - сумма квадратов отклонений y, объясняемая регрессией

• - остаточная сумма квадратов отклонений, объясняемая влиянием неучтенных при моделировании факторов.

Для оценки качества линейной регрессии используют коэффициент детерминации , . Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем качественней модель. Величина, являющаяся отношением ESS/TSS, определяет долю дисперсии показателя y, вызванную влиянием неучтенных в модели факторов.

Каждая сумма квадратов разности имеет определенное число степеней свободы, а именно TSS (n-1), поделив это значение на число степеней свободы получим дисперсию на одну степень свободы:

7. Оценка модели регрессии в целом.

Осуществляется по критерию Фишера. Для этого первоначально определяется расчетное значение или F-статистика

Затем по таблице находится табличное значение Фишера. Fтабл. α, , , где α – уровень значимости (надежности), , – число степеней свободы. Для табличного значения статистики Фишера , .

Если расчетное число значения статистики Фишера больше табличного, т.е. Fрасч.˃Fтабл., то модель значима в целом с уровнем значимости α.