23. Числ. Хар-ки системы дискрет. Св (мат. Ожид, дисперсия, ковариация, коэффициент лин-ой корреляции и его св-ва).

М. о. системы СВ (Х,У) будем назыв вел-ну М(Х); М(У)=( , ), где и мат-ое ожид состав СВ Х и У.

Для дискрет. СВ Х и У заданных табл 1 запишем что = ; =

Мат-ое ожид усл-ых распред. сост Х и У опред форм.:

,

Дисперсии СВ Х и У системы опред по форм.:

Д(Х)=М[ ; Д(У)=М[

Ковариацией или корреляц-ым моментом СВ (Х,У) назовём величину

=cor (X,Y)=M[( )] (1)

Формулу (1) можно преобразовать в виде: =М(X,Y) (2)

Для системы дискретных СВ Х и У ковариация = (3)

Св-ва ковариации: 1) = ; 2) =Д(Х)= ; ; 3)Если Х и У независим. СВ, то =0

Число = (4), где , , назыв коэф-ет лин-ой корреляции СВ Х и У.

Св-ва коэф-та лин-ой корреляции:

1) = =1;2) ; 3) =0 если Х и У независимы; 4) = т.е. тогда когда У=аХ+b, где а и b некоторые постоян. числа (это значит что коэф-т корреляции хар-ет тесноту лин-ой связи между СВ Х и У), причём если =0, то СВ Х и У назыв не коррелируемые.

24. Закон больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связан. с большими числ. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из кот. следует, что при неограниченном увел. числа испыт. ср. вел-ы стремятся к некоторым постоян.

К ним относ. теоремы Чебышева и Бернулли. Т. Чебышева явл. наиб общим законом больших чисел, Т. Бернулли - простейшим.

В основе доказат. теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по кот. устанав. вероят. отклонения Х от ее мат-го ожид.

Формулировка неравенства Маркова

Если среди знач. случ. вел-ны Х нет отриц., то вероят. того, что она примет какое-нибудь знач., превосходящее положит. число А, не больше дроби  , т.е.P(x>a) , а вероят. того, что она примет какое-нибудь знач., не превосходящее положит. числа А, не меньше  , т.е.P(x .                      Первая форма неравенства Чебышева

Вероят. того, что отклонение случ. вел-ны Х от ее мат-го ожид., а произойдет по абсолютной вел-не постоян. число Е>0, не больше  , т.е. P( > )  .

Вторая форма неравенства Чебышева

Вероят. того, что отклонение случ. вел-ны Х от ее мат-го ожид., а не произойдет по абсолютной вел-не постоян. числа Е>0, не меньше 1-   , т.е. P( )  

25 Теорема чебышева и ее сущность. Т-ма Чебышева. Если Х1, Х2,…, Хп — попарно независимые СВ, дисперсии кот. равномерно ограничены ( D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероят. неравенства будет сколь угодно близка к 1, если число СВ достаточно велико. Если Х1, Х2, …, Хп — попарно независ. СВ с равномерно ограничен-ными дисперсиями, имеющие одинаковое мат-ое ожид., равное а, то для любого сколь угодно малого ε > 0 вер-ть неравенства будет как угодно близка к 1, если число случ. вел-н достаточно велико. Вывод: ср-ее арифмет. достаточно большого числа случ. вел-н прини-мает знач., близкие к сумме их мат-их ожид., то есть утрачивает хар-р случ. вел-ны. Н-р, если проводится серия измерений какой-либо физ. величины, причем: а) рез-т каждого измерения не зависит от рез-ов остальных, т. е. все рез-ты представляют собой попарно независ. СВ; б) измерения производятся без систематических ошибок (их мат-ие ожид. равны между собой и равны истинному знач. а измеряемой вел-ны); в) обеспечена опред. точность измерений, следоват., дисперсии рассматр-ых СВ равномерно ограничены; то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному знач. измеряемой вел-ны. Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых опытов вер-ть р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испыт. вероят-ть того, что модуль отклонения относит. частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1 Доказательство. Введем СВ Х1, Х2, …, Хп, где Xi — число появлений А в i-м опыте. При этом Xi могут принимать только два значения: 1(с вероятностью р) и 0 (с вероятностью q = 1 — p). Кроме того, рассматриваемые СВ попарно независ. и их дисперсии равномерно ограничены (так как D(Xi) = pq, p + q = 1, откуда pq ≤ ¼ ). Следоват., к ним можно прим. теорему Чебышева при Mi = p.Но , так как Xi принимает знач., равное 1, при появлении А в данном опыте, и знач., равное 0, если А не произошло.

26. Предмет математич. статистики. Ген. и выборочная совок-ти. Статистич. ряд распредел-я выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирич. ф-ция распредел-я. МС- раздел матем-ки, посвященный математич. методам систематизации, обработки и исп-я стат. данных для научных и практич. выводов. Всю исследуемую совок-ть одного из объектов назыв. ген. совок-тью. А множ-во объектов, случ-но отобранных из ген. совок-ти, назыв. выборочной совок-тью, или просто выборкой. Объемом (ген. или выб.) совок-ти назыв. число всех ее объектов. При составл-и выборки польз-ся 2 осн. способами: повторным (исследуемый объект обследуется и возвращ-ся в ген. совок-ть) и бесповторным (обследуемый объект не возвращ-ся в ген. совок-ть). Сумма = n – объем выборки. Наблюдаемые знач-я назыв. вариантами, а последоват-ть вариант записыв. в возрастающем или убыв. порядке- вариацион. рядом. Числа назыв. частотами или весами, а их отнош-е к объему выборки m, т.е. = , относит. частотами, при этом сумма = 1. – Статистич. распредел-е выборки, или статистич. дискретный ряд распредел-я. Полигон частот- ломаная линия, состоящая из отрезков, соед. Точки (xi, mi); (xi, ɷi). Интервальный стат. ряд графически изобр. в виде гистограммы (ступенчатой диагр.), состоящей из прямоугольников. Площадь гитогр. частот равна объему выборки, а площадь гистогр. относит. частот (статистич. аналог плотности распредел-я вер-тей ген. совок-ти) равна 1. Эмпирич. ф-ция распредел-я – ф-ция (x)= , где n- объем выборки, - число знач-й признакаменьше < x. (x) определяет относит. частоту события.