40) Что такое стратегия игрока?

Для достижения поставленных целей каждый из игроков принимает те или иные решения. Каждое из таких решений в теории игр называется стратегией игрока.

41)Какая функция называется функцией выигрыша (платежной функцией)?

Результатом каждой игры является тот или иной выигрыш. В теории игр выигрыш имеет числовое значение (чаще всего в денежных величинах). Величина выигрыша является функцией стратегий, выбранных игроками. Эту функцию называют функцией выигрыша или платежной функцией.

42) Что называется оптимальной смешанной стратегией игрока?

Основной задачей теории игр является определение так называемой оптимальной системы стратегий игроков. Отметим, если для некоторой игры найдется система стратегий (алгоритм), позволяющая одному из игроков всегда получить выигрыш, то такая игра фактически перестает быть игрой. Такое превращение произошло в Лас-Вегасе с азартной игрой “Черный Джек”. Если для игры в шахматы будет найден алгоритм (система стратегий), приводящий белых к победе или черных к защите, то игре в шахматы придет конец. Игры, для которых существует указанная выше система стратегий, называются играми в чистых стратегиях. Такие игры составляют простейший класс игр с нулевой суммой.

Наибольший интерес представляют игры, оптимальные решения которых определяются не только системами стратегий, но и теоретико-вероятностными законами распределения их применения. Такие игры называются играми со смешанными стратегиями. Оптимальной смешанной стратегией игрока называется та, которая при многократном повторении игры обеспечивает максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

43) Что такое максимин и минимакс игры?

Минимакс — правило принятия решений, используемое в теории игр, теории принятия решений, исследовании операций, статистике и философии для минимизации возможных потерь из тех, которые лицу, принимающему решение, нельзя предотвратить при развитии событий по наихудшему для него сценарию^[1][2][3]. Критерий минимакса первоначально был сформулирован в теории игр для игры двух лиц с нулевой суммой в случаях последовательных и одновременных ходов, впоследствии получил развитие в более сложных играх и при принятии решений в условиях неопределённости. С понятием минимакса связано понятие максимина (значение минимакса не меньше значения соответствующего максимина).

44) Что называется максиминной, минимаксной стратегией  игрока?

Максимин и минимакс игры

Пусть A – платежная матрица некоторой матричной игры с нулевой суммой. Тогда гарантированный выигрыш первого игрока при выборе им первой стратегии будет равен

= .

Его гарантированный выигрыш при выборе второй стратегии равен

= .

А при выборе m-ой стратегии его гарантированный выигрыш будет равен

= .

Наилучшей стратегией для первого игрока будет та, которой соответствует

= .

Величина есть наибольший гарантированный (наилучший из наихудших) выигрыш первого игрока. Этот выигрыш называется максимином игры, а соответствующая стратегия называется максиминной стратегией первого игрока.

Проанализируем теперь стратегии второго игрока. Напомним, что, если для первого игрока матрица A есть матрица выигрышей, то для второго игрока она является матрицей проигрышей. Поэтому при выборе первой своей стратегии второй игрок проиграет не более

= .

При выборе второй стратегии он проиграет не более

= .

А при выборе n-ой стратегии он проиграет не более

= .

Но тогда наилучшей стратегией для второго игрока будет та, которой соответствует

= .

Величина есть наименьший из наибольших (наилучший из наихудших) проигрыш второго игрока. Этот проигрыш называется минимаксом игры, а соответствующая стратегия второго игрока называется минимаксной стратегией второго игрока.