23. Что называется взаимодвойственной задачей линейного программирования?

Двойственность в линейном программировании - принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу линейного программирования, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается главным образом в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Теория математического линейного программирования позволяет не только получать оптимальные планы с помощью эффективных вычислительных процедур, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, которая является двойственной по отношению к исходной ЗЛП.

Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной. Первоначальная задача является исходной. Эти две задачи тесно связаны между собой и образуют единую двойственную пару.

26. Сформулировать третью теорему двойственности?

Теорема 3. ( В формулировке для несимметричной двойственной задачи) .Если i-ая компонента оптимального плана исходной задачи строго положительна, то i-ое ограничение двойственной задачи при подстановке в нее оптимального плана превращается в строгое равенство .

Если i-ая компонента оптимального плана исходной задачи равна нулю, то i-ое ограничение двойственной задачи при подстановке в нее оптимального плана имеет вид .

Теорема 3. (В формулировке для симметричной двойственной задачи).

Если i-ая компонента оптимального плана какой-то задачи положительна, то i-ое ограничение двойственной ей задачи, при подстановке в не оптимального плана, превращается в строгое равенство.

Наоборот, если i-ое ограничение какой-то задачи, при подстановке в него оптимального плана, превращается в строгое неравенство, то i-ая компонента оптимального плана двойственной ей задачи равна нулю.

28. Что такое математическая модель транспортной задачи?

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (поставщиков) A₁, A₂,…,A_m в n пунктов назначения (потребителям). B₁,B₂,…,B_n. При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в которой в качестве критерия оптимальности взята минимальная стоимость доставки всего груза. Обозначим через c_ij тариф перевозки единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю, через a_i – запасы груза у i-го поставщика, через b_j – потребности в грузе j-ым потребителем, а через x_ij – объем поставки от i-го поставщика j-му потребителю. Удобно условие транспортной задачи записывать в виде так называемой таблицы поставок.

В этой таблице поставщикам приписаны номера 1, 2, …, m, а потребителям – 1, 2, …, n. Клетка, стоящая на пересечении строки i-го поставщика и столбца j-го потребителя называется клеткой (i,j). В этой клетке записан тариф перевозки единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю c_ij.