15. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.

Допустим, что дисперсия генеральной сов-ти известна.

Правило 1. Чтобы при заданной ур-не знач-ти альфа проверить гипотезу H0: а=а0 о рав-ве ген-й средней а гипотетическому значению а0 при H1: а не равно а0, надо найти набл=е знач критерия: Uнабл = ( - а0)*кор из n/, затем по табл ф-ции лапласса найти uкр из равенства Ф(uкр) = (1-альфа)/2.

Если l Uнаблl < uкр – нет оснований отвергать Н0. Если наоборот, то Н0 отвергают.

Правило 2 Если Н1: a>a0, то uкр находят из: Ф(uкр) = (1-2альфа)/2. Если Uнабл < uкр – нет оснований отвергать Н0. Если наоборот, то Н0 отвергают.

Правило 3 Если Н1: a<a0, то сначала находят вспомогательную критическую точку uкр по правилу 2, а потом полагают, что uкр штрих = - uкр. Если Uнабл > - uкр– нет оснований отвергать Н0. Если наоборот, то Н0 отвергают.

Часть I. Теория вероятностей.

1. Предмет теории вероятностей. Случайный опыт. Случайное событие. Элементарное событие. Множество элементарных событий.

2. Достоверное и невозможное события. Алгебра событий: сумма, разность, произведение событий.

3. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположные события.

4. Классическое и статистическое определение вероятности события.

5. Геометрическое, аксиоматическое определение вероятности события.

6. Формулы комбинаторики.

7. Вероятность суммы несовместных событий. Следствия (о вероятности противоположного события и суммы вероятностей группы событий).

8. Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Вероятность суммы нескольких совместных событий как вероятность появления хотя бы одного из нескольких событий.

9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (двух событий).

10. Формула полной вероятности.

11. Формула Байеса.

12. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

13. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

14. Закон распределения дискретной случайной величины.

15. Функция распределения дискретной случайной величины.

16. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

17. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

18. Основные законы распределения дискретных случайных величин. Биномиальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения.

19. Закон распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

20. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

21. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее

свойства.

22. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение.

23. Мода. Медиана. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях Бернулли. Геометрическая интерпретация числовых характеристик случайных величин.

24. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

25. Экспоненциальное распределение: плотность, функция распределения,

математическое ожидание и дисперсия.

26. Нормальное распределение: плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия. Стандартное нормальное распределение. Функция Лапласа. Интеграл Пуассона.

27. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило “трех сигм“. Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания.

28. Многомерные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения составляющих.

29. Условные законы распределения, условное математическое ожидание двумерной дискретной случайной величины.

30. Функции регрессии. Ковариация и коэффициент корреляции дискретной двумерной случайной величины. Свойства ковариации и коэффициента корреляции.

31. Предельные соотношения. Вероятность попадания в прямоугольник, в область.

32. Независимые и зависимые случайные величины. Совместная плотность распределения независимых случайных величин. Ковариация независимых случайных величин.

33. Линейная зависимость между случайными величинами и значения коэффициента корреляции.

34. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

35. Закон больших чисел. Сходимость по вероятности. Теорема Чебышева. Асимптотическая нормальность.

36. Теорема Бернулли, теорема Пуассона.

37. Центральная предельная теорема – теорема Ляпунова.

38. Теорема Лапласа (локальная, интегральная).

39. Предел по вероятности.