18. Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий Пирсона.

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равностоящих вариант (xi) и соответствующих им частот (ni). Попробуем проверить гипотезу о том, что генеральная сов-ть распределена нормально.

Чтобы при заданном уровне значимости альфа проверить данную гипотезу надо:

1. Вычислить выборочную среднюю и выбор. Ср. кВ. откл. В

2. Вычислить теоретические частоты ni = nh*фи(ui)/ В, где n – объем выборки, h – шаг (разность между соседними вариантами),

ui = (xi- )/В, фи(u) = (e^-u2/2)/корень из 2пи.

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия пирсона. Для этого: а) составить расчетную таблицу из i, xi, ui, фи(ui), ni, по которой находят набл знач критерия χ²набл:

Б) по табл крит-х точек распр-я χ², по альфа и числу степеней свободы k наход\т критическую точку χ²кр (альфа;k)

Если χ²набл< χ²кр – нет основания отвергать гипотезу. Если наоборот, то гипотезу отвергают.

16. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей.

Пусть даны 2 норм. СВ X и Y с параметрами

XN(a_x _x)

YN(a_y, _y)

Д(Y) = _y² .

Предположим, что дисперсии _x² и _y² – известны, а мат. ожидания M(X)= a_x , M(Y)= a_y - неизвестны.

Выдвинем гипотезу H₀ о равенстве мат. ожиданий: H_: a_x = a_y. Если сделаны 2 независ. выборки из ген. совокупностей X и Y , объёмами H₁ и H₂ соответственно: ₁: a_x  a_y.

Выбираем статистику  вместо дельта

Доказано, что эта статистика Z имеет стандартное нормальное распределение с параметрами (0;1): Z  N(0;1) (₀ = 1). Зададим уровень значимости . По табл. ф-ции Лапласса по заданному уровню значимости  находим k_крит. =Z_/2 . (Критич. обл. двусторонняя).

P( Z  Z_/) = 

P ( Z  Z_/2 ) = P( Z   Z_/2) P(Z  Z_/2)  P( Z Z_/2) P(Z_/2 Z <) = ½ ( Ф(Z_/2) 

 Ф()  Ф()  Ф(Z_/2)  ½ (Ф(Z_/2) 11  Ф(Z_/2))  1 Ф(Z_/2)

1 Ф(Z_/2)  

Ф(Z_/2)  1  , где

По табл. ф-ции Лапласса мы находим Z_/  k_кр., если:

1) Z  Z_/2, то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

2) Z  Z_/, то Н₀ отвергается в пользу Н_1.

3) H₀: a_x = a_y

H₁: a_x не равно a_y

P( Z  Z_) =   Ф(Z_) = 1  2

17. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей

Рассмотрим две св Х и У, каждая из к-х подчиняется норм закону с дисперсиями . Из этих ген сов-тей извлечены 2 выборки объёмами п₁ и п₂ . Проверим гипотезу Н₀ о том, что относительно альтернативной гипотезы Н₁, что Мы располагаем только выборочными дисперсиями

= и = .

Задача проверки гипотезы Н₀ сводится к их сравнению.

Для построения кр области с выбранной надёжностью надо

исследовать совместный закон распределения оценок и по распределению F.

Рассмотрим случайную величину , распр-ю нормально с мо Х и с дисперсией . Произведём две независимые выборки объёмами п₁ и п₂ . Для оценки используют выборочные дисперсии. Св, определяемую отношением , называют величиной с распределением Фишера-Снедекора. , где k₁=n₁-1, k₂=n₂-1.Найдём отношение F= , причём в числителе поставим большую из двух оценок дисперсии. Выберем уровень значимости и из таблиц находим число F которое сравнивается с вычисленным F. Если окажется, что , то проверяема гипотеза Н₀ отвергается, в противном случае наблюдения не противоречат проверяемой гипотезе.