8. Метод моментов построения оценок параметров равномерного распределения, распределения Пуассона, нормального распределения, показательного распределения.

1) оценку параметра , при плотности распр-я f(x)= *e^-x,x>=0 показательного распределения. Приравнивая нач. теор мом-т 1го порядка и нач эмп мом-т 1го порядка ню1=М1 и учитывая, что ню1=М(Х), М1= , получим М(Х)= (учитывая чему равно мо в данном распределении) и получаем, что =1/. Итак точ. оценка  пок-го распр равна величине, обратной выборочной средней: *=1/ .

2) оценку параметра  для распределения Пуассона. Приравнивая нач. теор мом-т 1го порядка и нач эмп мом-т 1го порядка ню1=М1 и учитывая, что ню1=М(Х), М1= , получим, что =. Итак, точ оценкой  распределения Пуассона служит выборочная дисперсия *= .

3) оценки параметров а и  нормального распределения с плотностью распределения где а вместо мю. Приравнивая нач. теор эмп мом-т 1го порядка, а также центр. и эмп мом-ты 2го порядка ню1=М1 и мю2=m2и учитывая, что ню1=М(Х), М1= , мю2=D (X), m2=Dв получаем, что М(Х)= , D (X)= Dв. (зная, что мо=а, дисперсия=2) имеем: а= , 2= Dв. Итак искомые точечные оценки параметров нормального распределения: : а*= , *= корень из Dв.

4) оценки параметров а и b равномерного распределения с плотностью распределения без нижней системы. Приравнивая нач. теор эмп мом-т 1го порядка, а также центр. и эмп мом-ты 2го порядка ню1=М1 и мю2=m2и учитывая, что ню1=М(Х), М1= , мю2=D (X), m2=Dв получаем, что М(Х)= , D (X)= Dв. (зная, что мо=(a+b)/2 и дисперсия=(b-a)^2/12) имеем (a+b)/2= и (b-a)^2/12= Dв. Получим следующие оценки: а=2* -корень квадр из (3* Dв- ^2); b= корень квадр из (3* Dв- ^2).

9. Интервальные оценки, доверительный интервал, доверительная вероятность.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальной оценкой параметра называется интервал (α, β), который с заданной доверительной вероятностью γ накрывает неизвест­ное значение параметра . Такой интервал (α, β) называется доверительным интерва­лом, а вероятность γ — доверительной вероятностью, или уровнем надежности. Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки , тогда он определяется фор­мулой для надежности и имеет вид т.е. неравенства выполняется с вероятностью γ. Наибольшее отклонение Δ выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой вы­борки.

10. Интервальная оценка математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении.

Пусть   - нормально распределенная св с неизвестным мо   и дисперсией  , т.е. , и имеется выборка х₁,х₂,...,x_n объема n. Требуется найти доверительный интервал для   с доверительной вероятностью  . С.в.

имеет распределение N(0; 1)

Можно найти симметричные относительно центра распределения границы, внутрь которых u попадает с заданной вероятностью g, с учетом симметрии,

(через   и   обозначены квантили стандартного нормального распределения порядка   и  ).

или

Это означает, что интервал  будет  -ным доверительным интервалом для неизвестного  нормального распределения с известной .

11. Интервальная оценка мо св, распределенной по нормальному закону, при неизвестном 

Пусть   - нормально распределенная св с неизвестнымы  — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего  с доверительной вероятностью  . Случайная величина,

где   — несмещённое выборочное стандартное отклонение. Полученная таким путем статистика t, уже не будет нормально распределенной. t имеет t -распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Отсюда в силу симметрии имеем:

Соответственно  -ный доверительный интервал для неизвестного  нормального распределения с неизвестной  :