4. Статистическое оценивание числовых характеристик. Состоятельность, несмещенность, эффективность.

Рассматривая  как независимые случайные величины  найти статистическую оценку неизвестного параметра–значит найти функцию от наблюдаемых св, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки мо нормального распределения роль функции выполняет среднее арифметическое:

Пусть   статистическая оценка неизвестного параметра   теоретического распределения, которую можно рассматривать, как случайную величину, а числа   – как ее возможные значения.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки  .Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую этому условию.

Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

5. Точечная оценка математического ожидания генеральной

совокупности по выборочной средней. Ее несмещенность.

Задана случайная величина Х: х₁, х₂, …, х_n, Точечная оценка математического ожидания определяется по формуле

                                               

 

или

,  ,

так как

Это и означает, что оценка   несмещенная.

6. Точечная оценка дисперсии, ее смещенность. Исправленная выборочная дисперсия.

Так как дисперсия определяется через математическое ожидание, то для дисперсии естественно предложить оценку:

 

или             

 

 данная оценка дисперсии не является несмещенной.

Для получения несмещенной оценки введем поправку и домножим D c палкой на n/(n-1)и полученную оценку обозначим через S²

или

 

S2 есть исправленная дисперсия, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

7. Понятие о точечных оценках параметров распределений. Метод моментов получения точечных оценок параметров распределения случайных величин.

Пусть   случайная выборка из распределения Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное значение параметра . В качестве точ оценки неизв-й вер-ти р принимают относительную частоту W=m/n.

Метод моментов состоит в приравнивании теоретических моментов соотв-м эмпирическим моментам того же порядка.

Оценка одного параметра. Если плотность распределения f(x;a) св Х зависит от одного параметра а, и необходимо найти оценку параметра а, то нужно иметь одно уравнение относительно этого параметра, например, первый начальный момент

.

Приравняем его значение первому теоретическому моменту

= ,

.

При оценке двух параметров, например  , для отыскания оценок параметров   необходимо иметь два уравнения относительно этих параметров. Для этого можно воспользоваться, например, первым начальным моментом (математическим ожиданием) и вторым центральным (дисперсией).