Вопрос 6. Энергия упругой волны

         Пусть в некоторой  среде распространяется продольная волна    . (7.а) Выделим в среде элементарный объём ∆V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объёма можно было считать одинаковыми и равными соответственно ∂ξ/∂t и ∂ξ/∂x.  Выделенный объём обладает кинетической энергией ,   (24) и потенциальной энергией         ,  (24) где Е=ρv² – модуль Юнга, v –фазовая скорость волны (эта формула будет выведена в следующей лекции).Полная энергия. Разделим эту энергию на объём, в котором она содержится, получим плотность энергии          .  (25) Подставим в это выражение уравнение волны (7.а) и приняв во внимание, что  получим: (26) В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.         Из выражения (26) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в различных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно ½. Соответственно среднее по времени  значение плотности энергии в каждой точке среды равно  . (27)

Замечание. Подобная зависимость имеет место и для других видов волн: сферической, цилиндрической, затухающей. Энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной  через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность: . (28)Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится понятие плотности потока энергии:     . (29) Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии через перпендикулярную к переносу площадку. Пусть через площадку  переносится за время ∆t энергия ∆W, заключенная в объёме цилиндра  с основанием  и высотой v∆t. Если размеры цилиндра достаточно малы для того, что бы во всех его точках считать плотность энергии одинаковой, то .    (30)Подставив в (29) получим .  (31) Так как направление переноса энергии совпадает с направлением волны, то можно записать в векторном виде:.  (31.1) Этот вектор плотности потока энергии  называется вектором Умова.    Среднее значение вектора Умова равно: . (32) Это выражение справедливо для волны любого типа.

Интенсивность волны-среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.

Полный поток энергии через некоторую поверхность равен: , (33) а его среднее значение .  (33.1) В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает по закону

. Соответственно средняя плотность потока энергии убывает по закону . Величина 2γ – называется коэффициентом поглощения волны.

Вопрос 5. Скорость звука в газах

 Звуковая волна в газе представляет собой  распространяющуюся в пространстве последовательность областей сжатия и разрежения газа.  Формулу можно использовать и в этом случае, остаётся лишь выяснить, что играет здесь роль  модуля Юнга Е. Закон Гука в этом случае примет вид    , где знак минус связан с тем, что приращение давления и длины ∆ξ противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения канала вдоль направления распространения волны, получим  (18)   (19) Объём V элемента ∆x и его ρ меняются при прохождении волны, но ρV = const. Продифференцировав это выражение, получи . (20)

Подставим в выражение (19):          , тогда скорость волны примет вид          .   (21) Это выражение справедливо для волн в жидкости и газах.

Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объёмом определяется уравнением      ^,    (22) где . Возьмём дифференциал натурального логарифма от выражения (22):          ,  откуда   , и формула (19) принимает вид          .  (23) Таким образом, скорость звуковой волны в газе

         .  (24) Из ур-ия ид газа   ,   и ур-ие станет таким:         , (25) где М – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.

----------------------------------------------------------------------