Вопрос 37. Зоны Френеля

как показал Френель для некоторых случаев, отличающихся симметрией, можно решить задачу простым суммированием.Найдём амплитуду колебания в точке Р, возбуждаемого сферической волной от источника S в изотропной и однородной среде. Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояние от краев каждой зоны до точкиР отличаются на λ/2. Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля. Из рисунка видно, что расстояние от внешнего края  зоны m до точки Р равно . (3) Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон находятся в противофазе. Поэтому результирующие колебания от каждой из зон в целом будут отличаться от соседних зон на π. Вычислим площади зон. Внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h_m . Обозначим площадь этого сегмента S_m. Тогда площадь m-й зоны можно представить в виде , где S_m-1 площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (m+1) – й  зоны. Из рис3 , где а – радиус волновой поверхности, r_m – внешней границы m-й зоны. Возведя скобки в квадрат, получим   (4) Отсюда, пренебрегая слагаемым, содержащим λ²,  получим (5)Площадь сферического сегмента равна . Следовательно            (6) Выражение для площади m-зоны не зависит от m.  Это значит, что при не слишком больших значениях m их площади примерно одинаковы. Из равенства (4) найдём значение радиуса m-зоны. При не слишком больших m высота сегмента h_m<<a , поэтому  можно считать, что . Отсюда получим(7) При а=в=1м и λ=0,5мкм для радиуса 1 зоны получим r=0,5мм. Угол φ между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения Р растёт с ростом m. Также растёт расстояние от m-й зоны до точки Р. Это приводит к тому, что амплитуда от каждой зоны  монотонно убывает с ростом m. Даже при очень больших m, когда площади зон начинают расти, убывание множителя K(φ) перевешивает рост ∆S_m . Таким образом, амплитуды образуют монотонную убывающую последовательность:            . Так как фазы колебаний от соседних зон отличаются на π, то амплитуда в точке Р может быть представлена в виде (8) так как , то выражения в скобках будут = 0. (9)амплитуда от всей волновой поверхности равна половине амплитуды первой зоны.

Спираль Френеля

что мы приписываем каждой зоне Френеля одну и туже фазу (фаза будет меняться от границы нач зоны до её конца).Разобьем каждую зону Френеля на кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, (меньшие по ширине). Будем складывать колебания от этих узких зон графическим методом. Амплитуду от каждой зоны будем изображать вектором, модуль которого медленно убывает при  переходе от зоны к зоне. Каждое следующее колебание отстает по фазе на одну и туже величину. Векторная диаграмма от первой зоны Френеля будет иметь вид как на рис.4. Результирующий вектор совпадает с диагональю окружности, на которой расположились вектора – амплитуды от узких зон. Из-за монотонного убывания амплитуд векторы образ ломанную спиралевидную линию. Результирующий вектор от второй зоны Френеля направлен противоположно вектору первой зоны, но чуть меньше его по модулю, поэтому их сумма не будет точным нулем, а даст небольшой суммарный вектор в нижней части рис.5.

 Сумма амплитуд от всех зон Френеля (от всей волновой поверхности) изображена на рис.6. Видно, что амплитуда равна половине амплитуды от первой зоны Френеля. На рс.7 изображен вектор, отвечающий внутр половине первой зоны Френеля. Он в больше вектора всей волновой поверхности.

Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга.

----------------------------------------------------------------