Вопрос 3. Волновое уравнение

Уравнение любой волны явл решением диф ур-я,наз-его волновым. Волна явл гармонической волной. Получим дифференциальное уравнение в частных производных, связывающие изменения функций, характеризующих волну во времени и в пространстве. Обозначим фазу волны φ=t-x/v и продифференцируем выражение (18)

,  (20) .     (20.1) Подставив выражение (20) в выражение (20.1) получим .    (21) Это уравнение является простейшим волновым уравнением. Для волн в отрицательном направлении в ур-и (21) знак  - должен быть заменён +. Производная  - это проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия. Производная -относительная деформация среды.   Относительная деформация величина алгебраическая, она может быть как больше, так и меньше нуля. Можно получить уравнение, справедливое для волны любого направления, а также для суперпозиции волн. Для этого продифференцируем выражения (20) и (20.1) ещё раз по t и по х соответственно:  , .    (22) Подставив первое уравнение во второе, получим: .  (23) Этому уравнению удовлетворяет общее решение вида:

   Замечания.

1.Волновые уравнения (21) и (23) справедливы для однородных изотропных сред с малым затуханием.

2.Обобщением на трёхмерный случай является уравнение вида (23.1) Это уравнение дает решение в виде сферических или цилиндр волн.

----------------------------------------------------------------

Вопрос4. Скорость упругой волны в твёрдой среде

Пусть в направлении оси х распространяется плоская продольная волна. Выделим в среде цилиндрический объём с площадью основания S и высотой ∆х (Рис.1).

Смещения частиц ξ с разными х в каждый момент времени оказывается различными (Рис.2). Если основание цилиндра с координатой  х  имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение основания с координатой х+∆х будет ξ+∆ξ. Поэтому рассматриваемый объём деформируется – он получает удлинение  ∆ξ или относительное удлинение ∆ξ/∆х. Величина  ∆ξ/∆х дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что ξ меняется  не по линейному закону, истинная деформация в разных точках сечения цилиндра будет неодинаковой. Что бы получить относительную деформацию ε в сечении х, ∆х0.    . (1)Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании норм напряжения σ, при малых деформациях пропорц величине деформации      (2) (Е- модуль Юнга среды). относительная деформация ε, а следовательно, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х (Рис.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают мax. уравнение движения для цилиндрического объёма на рис.1. Ускорение вдоль оси х равно . Масса цилиндра равна ρS∆x, где ρ-плотность недеформированной среды. Рассмотрим малый элемент стержня  (λ-длина волны), когда он оказался в растянутом  состоянии. Применим к этому элементу 2 закон Ньютона:         (3)

После сокращения уравнение примет вид:     ,или          .   (4) Мы получили волновое уравнение, из которого можно утверждать, что скорость продольной волны будет равна:          . (5)Замечание. Этот закон справедлив только для тонких стержней, так как только в этом случае при малых продольных деформациях справедлив закон Гука. Для случая поперечных упругих волн скорость равна          ,  (5а) G- модуль сдвига среды.

-------------------------------------------------------------