Раздел временные ряды в эконометрических исследованиях

4.1. Методические указания

Модели, построенные по данным, характеризующим один объ­ект за рад последовательных моментов (периодов), называются мо­делями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показа­теля за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (7), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма пере­численных компонент, - аддитивные модели, как произведение - мультипликативные модели временного ряда. Аддитивная модель имеет вид: У = Т + S + Е\ мультипликативная модель: У = Г * S •

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Г, S и Е для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги:

1. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. расчет значений сезонной компоненты 5;

3. устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Г + Е) или в мульти­пликативной (Г ■ Е) модели;

4. аналитическое выравнивание уровней (Г + Е) или (Г • Е) и расчет значений Тс использованием полученного уравнения тренда;

5. расчет полученных по модели значений (74 S) или (Т • 5);

6. расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

п

Y(y_t-yi) (yt-\ ~Уг)

137

Л я

где уз = — = коэффициент автокорреляции уровней ряда

п - 2 л - 2

второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента кор­реляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от ве­личины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррело- граммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенден­ции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнива­нием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следую­щие функции:

• линейная y_t = а + b •

• гипербола у₍ = а + bit;

• экспонента y_t = e^a*^{h t};

• степенная функция у₍ = a -t^b;

• парабола второго и более высоких порядков y_t = a+b_l>t + b₂'t² +...+b_kt^k.

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве не­зависимой переменной выступает время t = 1,2, ..., и, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации /Р.

где y\ = -—=— y₂ = коэффициент автокорреляции уровней ряда

п -1 * п -1 j

первого порядка;

п

К^Г - Уз)-0^-1 -^4)

138

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трен-

довых значений для каждого временного ряда модели, например y_t

и x_t, и расчет отклонений от трендов: У_г - Ух и x_t - x_t. Для

дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда. .

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменя­ются первыми разностями:

г

Л» =y_t ~y_tA ⁼b+(e_t — £(_|); если параболический тренд - вторыми разностями:

А? = А, -Дм =2^2 -2-е_м +е,_₂) •

В случае экспоненциального и степенного тренда метод после­довательных разностей применяется, к логарифмам исходных дан­ных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

' г*

y_t x_t + b₂ t + t_t.

Параметры а и b этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков е_г за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий, Дарвина - Уотсдна и расчет величины:

1(е*-ем)²

</ = !=2 0<,d<,4.

^п 1

Х^£г

t=\

139

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка опреде­ляется по формуле

tve,-!

^п о

Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

2

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что макси­мальная величина лага конечна, имеет вид

Коэффициент регрессии bo при переменной x_t характеризует среднее абсолютное изменение у, при изменении х, на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент назы­вают краткосрочным мультипликатором.

В момент (г + 1) воздействие факторной переменной x_s на резуль­тат y_t составит (b₀ + Ь\) условных единиц; в момент времени (t + 2) воздействие можно охарактеризовать суммой (b₀ + b\ + Ь₂) и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для мак­симального лага (г + 0 воздействие фактора на результат описывает­ся суммой фо + Ь\ + ... + bi = b\ которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины

называются относительными коэффициентами модели с распреде­ленным лагом. Если все коэффициенты bj имеют одинаковые знаки, то для любого j

1

0<Р;<1 и

м

140

Величина среднего лага модели множественной регрессии опре­деляется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент и

Медианный лаг - это период, в течение которого с момента вре­мени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

7=0

где 1_Ш - медианный лаг.

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или ме­тоду Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффици­енты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

bi = b₀k\ 1 = 0,1,2,..., 0<А< 1. Уравнение регрессии преобразуется к виду

А

y_t =sа 4-й₀• x_t +Z>0+6₀'X +•» + £/•

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

bj - c₀ + c\j + C2/+...+ c*/.

Уравнение регрессии примет вид

y_t = а + Cq • z₀ + C\ • Z\ + C₂ • z₂ + ... + Cfc • Zk + £

где Zi = 51 j 1 = 1 k\ j-1 p.

141Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

1. устанавливается максимальная величина лага /;

2. определяется степень полинома к, описывающего структуру лага;

3. рассчитываются значения переменных го,—, Zt\

4. определяются параметры уравнения линейной регрессии y_t от г,;

5. рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зави­симой переменной, называются моделями авторегрессии, например:

y_t=a + b₀x_t+c_ly_t__l+t_t.

Как и в модели с распределенным лагом, Ь₀ в этой модели харак­теризует краткосрочное изменение y_t под воздействием изменения x_t на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рас­считывается как сумма краткосрочного и промежуточных мульти­пликаторов:

b = b₀ + b₀ +b₀ с\ +Ь₀ cf+...^бо (1 + q +q²+cj*+ ...) = A₀/(l-q).

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авто­регрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.