_ 11918,3 17 _ Фмсг " 8027,6 ' 2 " г'

Сравнивая F_x^ и F^, приходим к выводу о необходимости от­клонить гипотезу Яо и сделать вывод о статистической значимости

уравнения регрессии в целом и значения Ry_XlX2, так как они стати­стически надежны и сформировались под систематическим действи­ем неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5%, и это является достаточно малой величиной.

2. Частный F-критерий Фишера оценивает статистическую целесо­образность включения фактора х_х в модель после того, как в нее включен фактор х₂. Частный F-критерий Фишера строится как от­ношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дис­персии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с вклю­ченными факторами х\ и х₂:

S —S v

_р Ф*** ух_хх₂ Ъ*^ктух₂ п-т-1

^часш х\ „ j

^остух_хх₂Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4 Вариация результата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклоне­ний, S	Дисперсия на одну степень свободы, s2	^факт	Fft&a а = 0,05, кг = 17
Общая	df=n - 1 = 19	19945,9	—	—	—
Факторная В том числе: за счет х2 за счет допол­нительно включенного х\	кх = т = 2 1 1	11918,3	5959,15	12,62 10,86 14,38 *	3,59 4,45 4,45
Остаточная	к2=п-т-\ = 17	8027,6	472,21	—	—

Яоб_Щ = aj-.л = (31,58)² • 20 = 19945,9; 5_фает ⁼ о у' п • Я²_уХхХг = 19945,9 • (0,773)² = 11918,3; £фшег_Х2 =°²у'^пгух₂ = 19945,9-(0,507)² =51217,1; Яфакг_Л1 =5факг-5факг_;С2 =11918,3-5127,1 = 6791,2;

^ост = а² • w * (1 ~ ^Rl_xix₂ ) = ^общ - *^факт = 8027,6.

Включение фактора х\ после фактора х₂ оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующе­го фактора х_ь так как F_41lcmxi = 14,38 > ^_табл = 4,45.

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х₂ после включенного ранее фактора х\. Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи

R² и г²

УХ1*2 У*\

R² -г²

_F _ V1X2 ух\ п-т-1 (0,773) -(0,746) 17 ^{Часгал2}" 1 -*² l" 1-(0,773)² т⁼

УХ\Х₂ ⁴ ' '

84

ду, что включение х₂ после х_} оказалось бесполезным: прирост фак­торной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несущест­вен, статистически незначим, т.е. влияние х₂ не является устойчи­вым, систематическим. Вполне возможно было ограничиться по­строением линейного уравнения парной регрессии^ otjcj.

часта*!

3. Оценка с помощью f-критерия Стьюдента значимости коэффици­ентов Ь\ и Ъ₂ связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок: т^ и ть₂- Расчет значений случайных оши­бок достаточно сложен и трудоёмок. Поэтому предлагается более простой способ: расчет значения /-критерия Стьюдента для коэффи­циентов регрессии линейного уравнения как квадратного корня из соответствующего частного F-критерия Фишера:

= д/^часп. = л/Й38 = 3,79;

Табличные (критические) значения f-критерия Стьюдента зави­сят от принятого уровня значимости а (обычно это 0,1; 0,05 или 0,01) и от числа степеней свободы (л - т - 1), где п - число единиц совокупности, т - число факторов в уравнении.

В нашем примере при а = 0,05; df= 20-3 = 17; ^бл = 2,10. Срав­нивая /табл И /факт» ПрИХОДИМ К ВЫВОДУ, ЧТО Так как t_b = 3,79 > 2,11 =

= *табл, коэффициент регрессии Ь_х является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Так как tb₂ = 1,32 < 2,10 = *габл> приходим к заключению, что величина Ъ₂ яв­ляется статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факто­ров. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния х\ (доли занятых тяжелым физическим трудом) на у (среднедушевой доход) и ненадежность, незначимость влияния х₂ (доли экономиче­ски активного населения в численности всего населения).

В силу того что F,

часта х₂

-1,73 < F^j, = 4,45 , приходим к выво­

Пример 3

Зависимость спроса на свинину х\ от цены на нее х₂ и от цены на говядину х₃ представлена уравнением

lgx, =0,1274 - 0,2143 -lg х₂ + 2,8254 lgx₃.

87

Требуется:

1. Представить данное уравнение в естественной форме (не в лога­рифмах).

2. Оценить значимость параметров данного уравнения, если извест­но, что меритерий для параметра Ь₂ при х₂ составил 0,827, а для па­раметра 63 при хз - 1,015.

Решение

1. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путём потенцирования обеих частей уравнения:

Х\ = Ю⁰'¹²⁷⁴ ■ JCJ^0,2143 • JC3^,8254;

ь

^=1.3409^.1.^54

^х2

Значения коэффициентов регрессии Ь\ и Ъ₂ в степенной функции равны коэффициентам эластичности результатах] отх₂ и х₃.

Э_Х}Х2 =-0,2143%; Э_Х{ХЗ = 2,8254%.

Спрос на свинину х\ сильнее связан с ценой на говядину - он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью: с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%.

2. Табличное значение f-критерия для а = 0,05 обычно лежит в ин­тервале 2 - 3 - в зависимости от степеней свободы. В данном приме­ре tb₂ = 0,827, t_b3 = 1,015. Это весьма небольшие значения /-критерия,

которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о ста­тистической ненадежности всего уравнения, поэтому применять по­лученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Пример 4

65

По 20 предприятиям региона (табл. 2.5) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов xi (% от стоимости фондов на ко­нец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в об­щей численности рабочих х₂ (%).

₅-3272

Таблица 2.5 Номер предприятия	У	XI	*2	Номер предприятия	У	XI	*2
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6 .	32,0
10	10,0	6,8	20,0 | 20		14,0	9,0	36,0

Требуется: