7.2. Толстостенная труба под равномерным давлением

7.2.1. Общее решение

Перед тем, как приступить к рассмотрению других операций обработки металлов давлением, разберем пластически напряжен­ное состояние толстостенной трубы под действием равномерного внутреннего или внешнего давления, поскольку решение этой задачи понадобится при рассмотрении других операций.

Эта задача осесимметричная — напряжения не зависят от координаты Э. Примем, что осевая нагрузка отсутствует, т. е. а_г = 0. Поскольку рассматриваем равномерное давление, напря­жения о_р и а_е не зависят также и от координаты z. Вместе с тем эти напряжения будут главными, так как касательные напряже­ния отсутствуют. Условием равновесия будет служить уравнение (3.52)

^dao ^gp — Q~e __ _ dp р ~ ^U'

а условием пластичности — уравнение (5.9а), которое напишем, изменяя индексы 1 и 3 на р и Э:

2 2 2

^{Ор -+- о}₀ ^{— а}_р^о_е ^{= a}_s^.

Для упрощения решения применим метод введения новых пере­менных. Умножим обе части уравнения (5.9) на 4 и к левой части прибавим и отнимем 2а_ра_е. Тогда получим

ор + ае -f- 2а_ра_е -f- За_р -f- Зао — 6а_ра_е = 4о%

откуда

(^i)²₊3(^)²=a?

но

°0 + 0-0

Кроме того, обозначим Ор — °е

— = о„.

Тогда

Оср -f- Зоо = а?.

(7.37)

Выразим а_ср и а₀ через новый аргумент в виде некоторого параметрического угла ■& так, чтобы уравнение (7.37) тождественно удовлетворялось. Для этого достаточно положить

2

_{Ср —(?е}

о-р + о-е

1

a_s cos

(7.38)

_: a, sin #.

On =

2 VT

Из уравнений (7.38) выразим a_p и a_e через параметр 0:

2

/3

^Je

2

(^cos 0 +-i-sin о) = ~ a_scos (§ - -2-) ; | a_s cos # - -1 sin o) = a_s cos (# + ) .

(7.39)

Поскольку значения ст_ср и a₀, выраженные через параметр й по уравнениям (7.38), тождественно удовлетворяют условию пластичности (7.37), постольку подстановка значений а_р и а₉ из уравнения (7.39) обращает в тождество и условие (5.9) при любых значениях параметра д.

Условие пластичности, выраженное формулами (5.9) (см. стр. 130), графически представляется контуром пластичности в виде эллипса (см. рис. 5.3), следовательно, и система уравнений (7.39) определяет тот же эллипс. На рис. 7.18 около соответствую­щих точек эллипса проставлены значения угла 0, отвечающие со­ответствующим значениям а_р и а_е по уравнению (7.39). Подставим значения а„ и a_e из уравнения (7.39) в уравнение равновесия (3.52)

+

dp

^{„[„.(*--j-)] cos(o—=-)_cos(o+-f )}

о,

6е=-$ Рис. 7.18

откуда после преобразований

^.^^-(VT-ctgd) d#.

Интегрируя, получим

In р = — (# УЗ — In sin d + С),

откуда после потенцирования, обозначая постоянную е^с через В², найдем

Таким образом, получено 156] общее решение задачи по пара­метру

^а^⁼ ^Т^а'^С05(^#~Т-)' (⁷-^410а)

2

a_scos (7.406)

р²⁼⁼ -ет^р*^- ⁽⁷-^40в)

Определяя в частных случаях по краевым условиям постоян­ную В, получим для этих случаев значения а_р, а_е и р в функции параметра Каждому комплексу значений а_р, о_е и параметра О 270

на контуре пластичности (эллипсе) соответствуют определенные точки. При этом не следует думать, что параметр совпадает с уг­лом, определяющим положение радиуса-вектора эллипса в той или иной точке.

Рассмотрим некоторые варианты.

7.2.2, Труба под внутренним давлением

Если труба подвергается только внутреннему равномерному давлению, то на свободной поверхности при р = R (R — наруж­ный радиус трубы) напряжение а_р = 0, а напряжение а_е может быть только растягивающим: а_е > 0. Подставляя а_р = 0 в урав­нение (7.40а), получим

cos (d--jL) = 0,

2 1

откуда (в пределах 0±я) § = -уП и д = — я.

Подставляя же эти значения 0 в уравнение (7.406), увидим,

2 1

что при•& = ~y я а_е < 0, а при •& = д- я а_е > 0; в этом, впрочем,

легко убедиться непосредственно на рис. 7.18.

Таким образом, краевому условию соответствует параметр

#= ¹— я, т. е. точка а на эллипсе пластичности (рис. 7.18).

О

Подставляя •& = ^- я и р = R в уравнение (7.40в), определим

произвольную постоянную В²:

R² = _^=£²ехр -JL1/3-; В² = - Ц- R² ехр УТ и получаем

откуда

^. ₌ _А!|Д_ехр_(_{д +} ^)₁/3-. (7.41)

Подстановка в уравнения (7.41) и (7.40 а и 6) различных зна-

чений определяющих —5г 1, начиная с 0= 5-я, дает

Р ⁶

значения Rip и корреспондирующие каждому из них значения Ор и а_е. В результате получим распределение напряжений по сечению трубы, находящейся в пластическом состоянии под дей­ствием внутреннего давления.

Если принять, что р — г, где г — внутренний радиус трубы, то получим те значения о_р на внутренней поверхности трубы,

271

которые необходимы для того, чтобы она находилась в пластичес­ком состоянии. Обозначая внутреннее давление через р и считая его положительным, имеем

Р = - О_р=г.

Какие значения т) следует брать, видно из рис. 7.18. Так как

напряжение а_р может быть только отрицательным, то от точки а

надо переходить в сторону увеличения абсолютной величины отри-

5

цательных значений т). Вторым крайним значением ■& будет g- п,

когда

0_р = — а*; а_е = — 0,5а₅* и = 2,963.

При дальнейшем увеличении абсолютного значения угла О величина напряжения а_р [по уравнению (7.40а) 1 будет падать, что не имеет физического смысла, так как невозможно, чтобы при дальнейшем увеличении толщины стенки требовалось меньшее давление для перевода трубы в пластическое состояние. Таким

образом, при — > 2,963 трубу уже нельзя перевести по всей

толщине в пластическое состояние. Пластическая зона окружена упругой. Следовательно, пластическому состоянию трубы под внутренним давлением соответствует участок эллипса от точки а

У^п) д° точки Ъ g^-11)' ^^а Р^ис' ^этот У^часток

заштрихован.

Вычисленные значения R/r, а_р и о_в в функции угла ft представ­лены на рис. 7.19. Имея эти значения, легко построить график напряжений а_р = —р в функции R/r (рис. 7.20, кривая /).

Рассмотрим теперь задачу распределения напряжений в трубе с осевой нагрузкой и притом такой, чтобы деформация в осевом направлении отсутствовала, т. е. чтобы труба находилась в пло­ском деформированном состоянии.

Уравнение равновесия останется то же (3.52)

do-p о_р — о_е

— J- — и,

dp ' р

а условие пластичности возьмем в форме (5.18) о_р — о_в = ± рХ.

В нашем случае о_р < о~₉, следовательно, °р — 00 = - РЧ-

Подставляя уравнение (5.18) в уравнение (3.52), получим

dp р '

откуда после интегрирования a_p = P<j_slnpC.

При р = R Ор = 0; следовательно, Тогда

R '

Р

К In

а для внутренней поверхности, когда р —г, Ор = К In

или

р = К ln-j-.

Для плоского деформированного состояния коэффициент р = = 1,155, и кривая зависимости а_р или р от отношения пройдет выше (рис. 7.20, кривая 2) кривой /, ранее полученной для пло­ского напряженного состояния.

Приняв же Р = 1,1 и построив кривую 3 (рис. 7.20), мы уви­дим, что кривые 1 и 3 весьма близки одна к другой. Поэтому для плоского напряженного состояния взамен точного решения в параметрической форме в дальнейшем можно принять [108] приближенное решение

-о_р = р= 1,1<тЛп4 = l.lo.ln-^-- (⁷-⁴²)

7.2.3. Труба со стержнем под внешним давлением

Рассмотрим второй вариант. Пусть внутрь трубы с внутрен ним радиусом г вставлен жесткий стержень (оправка) того же радиуса. Примем, что трение на поверхности контакта трубы и стержня отсутствует. Снаружи нагрузим трубу равномерным да­влением. Спрашивается, какую величину должно иметь это дав ление, чтобы труба по всей толщине находилась в пластическом состоянии.

Очевидно, что на внутренней поверхности, т. е. при р = г, радиальное перемещение ы_р отсутствует. Следовательно, танген­циальная деформация е_е = и_р/р — 0 [см. уравнения (4.4)]. А это значит, что внутренняя поверхность трубы будет находиться не только в плоском напряженном, но и в плоском деформирован­ном состоянии, причем напряжение о_е будет средним:

°р + ®г

и поскольку а₂ = О, о - 2В.

Для определения произвольной постоянной В^г подставляем сперва о_е = oJ2 в уравнение (7.406) и решаем систему (7.40а) и (7.406) относительно 0, исключая о_р:

-Г^аР= 7T^a'^C0S(* + ir)

или

2cos(fl--^) = cos(§ + -^), откуда

В пределах 0±я этому значению тангенса соответствуют

§ = 4г и § = г-я.

о о

Удовлетворяет условиям задачи (напряжения сжимающие) 0 = = g- я, дающее при подстановке в уравнения (7.40) отрица-

274

тельные значения о_р и о_е. В этом можно убедиться также по рис. 7.18, где краевому условию соответствует точка Ь. Подставим

5

теперь р = г Н = —~о~^{п в} уравнение (7.40в):

г² = 2В²ехр В² = — 4- ехр

51^3" 6

5 УЗ

я,

и, следовательно, получим

2 sin д

1

ехр УЗ (* + -|" ^я)

(7.43)

Поскольку нас интересует необходимое давление р = —а_р на наружной поверхности для приведения трубы в пластическое состояние, можно написать

2 sin

г*

(7.44)

Значения О для рассматриваемого случая лежат в интервале

■ ^-п^ — л, что представляет на эллипсе пластичности (см.

рис. 7.18) участок be. р

При — = 1, т. е. когда толщина трубы стремится к 0, |о_р|

достигает максимального абсолютного значения а*. При умень­шении же внутреннего диаметра абсолютное значение о_р падает

и при г = 0 = оо^ снижается до o_s. Таким образом, изменение

вая

о_р происходит в ограниченных пределах. На рис. 7.21 дана кри-

значений |о_р| = р в функции R/r.

,1,0В

М ожет показаться несколько парадоксальным, что при увеличе­нии толщины стенок наружное давление, необходимое для приведе­ния трубы в пластическое состояние, падает. Однако при г = О получается 6_S сплошной цилиндр, дефор- ₁₁₂' мированное состояние ко­торого определяется де-

= е_е, т. е. представляет «простое растяжение» (см. Ш стр. 145), чему соответст­вует плоское одноименное напряженное состояние о_р == о_е = —a_s согласно схеме 1,6 (см. рис. 5.12).

1,00

формациями —-к в