7.1. Осадка

Осадкой называют технологическую операцию, при помощи которой уменьшают высоту исходной заготовки с одновременным увеличением площади ее поперечного сечения.

По схеме деформации осадка представляет собой сжатие — деформация в направлении активного усилия отрицательна, а две другие деформации положительны. В частных случаях воз­можно равенство последних между собой (простое сжатие) или равенство одной из них нулю (плоская деформация).

В идеальном случае, при отсутствии сил трения, схема главных напряжений при осадке соответствует схеме столбца V ряда 4 ** по рис. 5.12 (линейное сжатие V.4). Во всех остальных случаях преобладающие схемы главных напряжений при осадке представ­ляют собой схемы всестороннего неравномерного сжатия (///, 7, IV, 7 и V, 7).

7.1.1, Осадка прямоугольной полосы неограниченной длины

* В этой главе рассмотрены простейшие задачи по определению усилий при некоторых операциях ковки и объемной штамповки, в основном для иллюстрации применения различных методов теории обработки металлов давлением. Приведен­ные решения отнюдь не исключают других, более сложных и точных решений. Следует, однако, заметить, что излишнее стремление к формальной теоретической точности расчетов в ряде случаев превращает выполняемое решение в математи­ческое упражнение, оторванное от практических целей.

** В дальнейшем, при ссылках на рис. 5.12 схемы напряжений будут обозна­чаться двумя рядом поставленными цифрами: первая цифра — римскаи — будет означать столбец, вторая — арабская — ряд.

Поскольку длина заготовки предполагается неограниченной, постольку деформацию можно считать плоской, т. е. равной нулю в направлении длины заготовки (схема ///, 7). Искажением формы сечения пренебрегаем. Процесс деформации рассматриваем в каждый данный момент, следовательно, получим результаты, отвечающие всему периоду процесса. Оси координат расположим, как показано на рис. 7.1. Ось z направлена по высоте заготовки, т. е. по направлению активной силы.

Направление!

Если бы трение на кон­тактной поверхности отсут­ствовало, то напряженное со­стояние было бы двухосным (///, 6). Трение же меняет схему напряженного состоя­ния на схему III, 7.

^777777777777777777777777777/

₁

Рис. 7.1

Направление элементар­ных сил трения на контакт­ной поверхности заготовки, а следовательно, и контакт­ных касательных напряже­ний показано на рис. 7.1. Согласно правилу знаков (стр. 78) касательные напряжения на половине фигуры справа от оси отрицательны, а слева положительны. В силу симметрии сечения относительно координатных осей достаточно рассматривать лишь первый квадрант.

Решение с применением точных уравнений равновесия и условия пластичности.

При заданных осях дифференциальные уравнения равновесия напишутся так (3.50):

дх "t" дх "т

дг

да_г ~дг~

= 0;

-0.

Первое уравнение дифференцируем по г, второе по х:

д²<*х I д*т_хг _ _п. дН_хг , д*а_г _ _ дхдг "т" дг* ' дх* ~г dxdi

Из первого вычитаем второе

д*а_х д*о_г дЧ_хг _ д*х_{хг Q} дх дг дх дг ' дг* дх*

ИЛИ

д* (а_х — a_z) _ dH_xz _ д*%_хг dxdz дг* дх^ъ

Пишем условие пластичности (5.12)

(а_я-а_г)» + 4т|_г = 4Л^а,

откуда

(о_х - а₂) = ± 2Vk² - х\_г . (б)

Поскольку о_х и а_г отрицательны, а \а_г \ > \а_х\, то разность о_х — о_г положительна и знак перед корнем плюс.

232

Подставляем а_х — a_z из (б) в (а):

_{= еНхг еНхг}

дх дг дг² дх²

(в)

и получаем одно уравнение с одним неизвестным.

Это уравнение разрешимо в том случае, если принять, что х_хг не зависит от х и является функцией только г:

г_хг = /(г); -^-=0.

В этом случае левая часть уравнения (в) обратится в нуль, и мы получим уравнение

Решая его, имеем

X_xi — С i -\- С₂2.

Плоскость ху в силу симметрии является главной, т. е. при г = 0 и х_хг = 0, отсюда С_х = 0.

Пусть на контактной поверхности, т. е. при г = 0,5, касатель­ное напряжение х_хг имеет какую-то определенную величину т_к, тогда

и для т_дг получим решение

^Тдгг dx_xz 2т_к .

()z dz h ' ^W

Внося (г) и (д) в условия равновесия и учитывая, что dx_xJdx = — 0, имеем

^7-+ — - и,

Решая эти уравнения, получаем o_x = — ~x-\-(f₁ (г);

а₂ = ф₂ (х), (е)

где ф! (г) и ф₂ (х) — произвольные функции (см. примечание на стр. 189).

Для определения произвольных функций используем условие пластичности (5.12), которое должно тождественно удовлетво­ряться при подстановке в него полученных значений а_х, a_z и %_хг\

^{2%кХ + <Pi (г) - Ф}₂ ^{(х) = 2 у» >—^-z*}

h ¹ ™™ - - у " ■ _h2

Располагаем члены этого уравнения следующим образом:

<Pl (^z).

откуда видно, что уравнение будет тождественно удовлетво­ряться, если положить

<р₈(*) = ^ +

_Y

Ф1 (г) = 2 |/ Л» ^г² + С.

Подставляя эти значения произвольных функций в уравне­ния (е) и учитывая уравнение (г), имеем

4т²

& it-z⁸ + C;

а₂ = --^-х + С; 2т_к

(Ж)

Таким образом, нормальное напряжение а_г является линей­ной функцией х и не зависит от г, а касательное %_хг представляет линейную функцию z и не зависит от х. Решение (ж) получил Л. Прандтль [1031.

Казалось бы, что по данному решению, выполненному без каких-либо допущений, а лишь при физически вполне возможном условии постоянства касательных напряжений на контактной поверхности, можно получить как эпюру нормальных напряже­ний на контактной поверхности, так и распределение напряже­ний внутри заготовки. Однако для заготовки конечной ширины краевым условием является отсутствие нормальных и касательных напряжений на свободных боковых поверхностях. Между тем третье уравнение системы (ж) показывает рост каса­тельных напряжений %_хг на свободных поверхностях от нуля при г = 0 до максимума %_хг = k при z = 0,5/i в соответствии с прин­ципом парности касательных напряжений. Кроме того, при опре­делении постоянной С из условия, что на свободной поверхности нормальное к ней напряжение о_х = 0, получим нереальные зна­чения для напряжений а_г по второму уравнению системы (ж). 234

Дело заключается в том, что точное решение системы уравне­ний равновесия (3.50) при условии пластичности (5.12) в виде уравнений (ж) определяет лишь то напряженное состояние, ко­торое асимптотически осуществляется на достаточно большом рас­стоянии от свободных поверхностей весьма широкой полосы.

Для получения на основе системы (ж) практически пригод­ного, но приближенного решения используем лишь одно второе уравнение системы (ж)

2т_к

(7.1а)

пренебрегая остальными.

При отсутствии трения напряжение а₂ оставалось бы постоян­ным и равным —о*. Можно предположить, что в крайних точках контактной поверхности, т. е. при х = =£0,5а, и при наличии трения начальное значение напряжения о_г также равно —а*, и с этого значения абсолютная величина его растет по мере уменьшения координаты х.

Итак, полагая, что при х = 0,5а напряжение а_г =—-а*, по уравнению (7.1а) получим

C = -a; + -?f,

а подставляя это значение постоянной в уравнение (7.1а), имеем а_г=-а;+ ^т«⁽7²*> .

Так как т_к принято постоянным, то его можно выразить только через о* по уравнению (5.46), которое для плоского деформиро­ванного состояния получит вид

*

Подставив это выражение т_к ^в уравнение (7.1а), найдем окон­чательное значение a_z\

a_{2 =} -a:[l+J^^L].(7.16)

На рис. 7.2 представлена эпю­ра распределения нормальных на­пряжений на контактной поверх­ности полосы по формуле (7.16). Левая часть эпюры построена симметрично правой. При отсут­ствии контактного трения напря­жения а_г по всей ширине полосы были бы одинаковы и равны a*_s (линия ab). Наложенный на ли­нию ab треугольник acb отражает влияние трения. Поскольку при плоском деформированном состоянии напряжения не зависят от координаты у, эпюра будет одна и та же для всех сечений, нормальных к оси у.

Определить деформирующую силу можно по интегралу (6.1а). Однако в данном весьма простом случае пользоваться выраже­нием (6.1а) не обязательно. Действительно, площадь фигуры mnbca представляет собой не что иное, как деформирующую силу, отнесенную к единице длины / заготовки. Исходя из чертежа рис. 7.2, можно написать

P ₌ l{w + w\^)=alo\{\+*Ј)

(знак минус опущен, как не имеющий значения).

Удельное усилие р определяется делением Р на al\

P = a;(l+^). (7.2а)

При максимальном возможном значении фактора трения р,₅ = = 0,5

P = a;(i +4-Т-)- <⁷-^2б>

Формула (7.26) является основной для определения удельного усилия осадки заготовок значительной длины с прямоугольным сечением при горячей деформации.

Решение с использованием приближенных уравнений равновесия и условия пластичности.

В соответствии с изложенным на стр. 180 при применении этого метода ищем распределение нормальных напряжений только на контактной поверхности. На этой поверхно­сти напряжения не зависят от координаты г, так как эта коорди­ната здесь постоянна и равна 0,5/г. Следовательно, для контактной поверхности

дх dx дх dx

Касательное напряжение на контактной поверхности обозна­чим через т_к, т. е. т_лг = т_к при z = 0,5/г. Напряжение х_хг по мере удаления от каждой из контактных поверхностей будет по абсолютной величине уменьшаться и на оси х при г = 0 обра­тится в нуль, поскольку ось х является горизонтальной осью симметрии сечения полосы (см. рис. 7.1).

Допустим, что напряжение х_хг является линейной функцией г:

дтуз 2тк Ог ~~ k '

Подставляя приведенные данные в первое уравнение системы (3.50), получим уравнение

da_x 2т_к _ _п

которое и есть приближенное уравнение равновесия. Приняв условие пластичности для точек контактной поверхности в форме (6.116)

da_x do_z

dx dx '

получим

da, , 2т„ „ , „,

^Г+-7Г = °- (7-3)

Для решения этого уравнения необходимо принять то или иное распределение касательных напряжений на контактной поверхности. Предположим, что т_к пропорционально нормаль­ному давлению на поверхности контакта. Так как знаки при т_к и о₂ одинаковы (отрицательны) ¹, то т_к = ио_г.

Подставляя это значение т_к в уравнение (7.3), получим

do_z , 2р.а_г _ ₀ dx ' h

Интегрируя, имеем

„ 2пх о_г = Сехр

Полагая, как и в предыдущем решении (см. стр. 235), что при х ="0,5а о_г = —o*_s, найдем,

С = — o_s ехр-^-;

2|л (0,5а — х) ..

а_г = -а₅ехр-^-^ '-. (7.4)

Эпюра напряжений а_г по уравнению (7.4) представлена на рис. 7.3 кривой а'Ь'О'". Там же показана эпюра касательных напряжений т_к = \w_z — кривая dem. Эпюры вычислены для случая alh = 10 и ц = 0,2.