6.7. Метод баланса работ

Метод баланса работ, основанный в конечном итоге на законе сохранения энергии, давно применяли многие исследователи, в том числе, например, С. Н. Петров [683, Э. Зибель [28], А. Ф. Головин [8], И. Л. Перлин [67! и ряд других. 224

Исходным положением этого метода, который называют также энергетическим, является следующее: при пластической деформа­ции работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе внутренних сил:

А_в = A_D. (6.39)

Работа A_D представляет собой работу внутренних сил, иначе говоря — работу пластической деформации. Работа А_в — это работа внешних (поверхностных) сил, включая и работу внешних сопротивлений (т. е. сил контактного трения) А_Т, которая про­тивоположна по знаку работе активных (деформирующих) сил А_А. Учтя сказанное и рассматривая абсолютные значения работ, уравнение (6.39) можно переписать так:

А_А-А_Т = A_D. (6.40)

Здесь, как и дальше, принимают условие постоянства объема и упругую деформацию не учитывают. Следовательно, A_D пред­ставляет собой работу деформации формы.

Ранее было указано (стр. 125), что удельная потенциальная энергия упругой деформации равна половине скалярного произве­дения компонент напряжений на компоненты соответствующих деформаций. Этим положением можно воспользоваться и для на­хождения работы A_D. Однако в данном случае следует брать скалярное произведение полностью, а не половину его ^х.

Пусть для элементарного объема dV величина работы дефор­мации dA_D. Тогда, используя главные напряжения и деформации, на основании предыдущего можно написать

dA_D = (а₁е₁ + а_ае₂ + о₃е₃) dV.

Подставляя значения деформаций из уравнения (5.25а) и учитывая, что на основании уравнения (5.29)

Е' =-НЧ

получим после раскрытия скобок

dA_D = -~- (о\ + а\ А- а\ — oio₂ — а₂а₃ — 0301) dV, откуда

^dA» = 4 -тг¹⁽⁰¹ ~^ffa)2 + ⁽°² ~ °^з)2 +^(аз - ^{0i)2] dV}-

Так как по уравнению (3.33)

0,5 [{а, - о₂)² + (о₂ - a₃f + (а, - otf] = а\,

¹ При упругом деформировании напряжения увеличиваются от нуля прямо пропорционально деформациям, при пластической же деформации напряжения отличны от нуля и на малых этапах их можно принять постоянными.

8 М. В. Сторожей 225 то окончательно получим

dA_D = afi_t dV, откуда работа деформации для всего объема V

v

Наконец, поскольку согласно условию пластичности (5.1) С/ = о"«.

Ad = 11$wW. (6.41)*

v

Если упрочнение отсутствует, то a_s можно вынести за знак интеграла.

Работа внешних (поверхностных) сил в общем виде определяется так:

А_в = f J (Хи_х + Yu_y + ZuJ dF, (6.42)

где X, Y и Z — проекции сил, действующих по участку поверх­ности dF, на оси координат, a u_x, и_д и «_г — соответствующие им перемещения в направлении этих осей.

Работу внешних сил (поверхностных) часто можно выразить значительно проще, не прибегая к интегрированию уравнения (6.42).

Во всех приведенных уравнениях можно заменить деформации г скоростями деформаций е и перемещения и скоростями переме­щений и. Тогда вместо работ получим соответствующие мощно­сти w. Мощность внутренних сил w_D называют мощностью пластической деформации.

Определим усилие Р, необходимое для горячей осадки ци­линдрической заготовки диаметром d и высотой h [101]. Дефор­мация осесимметричная. Поэтому используем цилиндрические координаты р, G и г. Ось z расположим по оси заготовки. Примем следующие допущения: величину элементарных сил трения, т. е. касательных напряжений на контактных поверхностях (торцах цилиндра) т_к, будем считать постоянной (не зависящей от коор­динат): т_к = const; деформацию же, несмотря на наличие кон­тактного трения, примем однородной.

Пусть высота цилиндра уменьшится на весьма малую величину АЛ. Тогда работа внешней активной силы

* Выражение (6.41) можно представить иначе в виде Ad — J J j kyidV,

v

где у/ — интенсивность деформаций сдвига. 226

А_А = Р Ah.

Работа деформации согласно (6.41)

A_D = o_s J J J 8_гр dp dQ dz. v

Работу трения (на двух торцах) определим по формуле (6.42), учтя, что перемещения точек происходят по радиусам и элемен­тарные силы трения также будут направлены по радиусам:

2я 0.5d

^А_т ^{= 2т}_к ^{J J — Ырр dp d0.}

о о

Для определения е_; и ы_р в условие постоянства объема под­ставим деформации е_р и е₀ из выражений (4.4):

$£_4-ifp _|_е₂ = 0.

Так как на контактных поверхностях е_г не может зависеть от г, то при сделанном допущении однородности деформации г_г следует считать вообще не зависящей от координат, т. е. постоян­ной по всему объему осаживаемой заготовки:

du, , Д/i

8₂ = -т-⁵- = COnst = 7—,

² dz h

Подставляем г_г = —A/i//i в предыдущее уравнение и несколько преобразуем его:

д(»_Рр) _ДЛ _ _п а_Р h ^р ~ ^v'

откуда после интегрирования

1 Д/i , t / \ "р = -у — Р + / (г)-

На оси заготовки при р = 0 перемещение и₀ = 0, и, следова­тельно, / (г) = 0. Окончательно получаем

_1_ Д/г

^ир~ 2 ~Т~^р;

„ _ «р }_ _Д^_ .

^ьр ~ ~ ~ 2 /г '

_ 1 Д/г

^ее- ^ер-— —•

Подставляя значения деформаций е_г, е_р и е₀ в формулу (4.11), определим

_{_ _}

^ег — ± ^ег —

что уже указано на стр. 116. Используя найденные величины ш уравнение (6.40), получаем

2л 0,5d ft 2я 0,5d

^{Р Д/i = - o}_s^{J J \pdpdQdz-%}_K^{-^-\ \} _P^2dpd0,

0 0 0

откуда после интегрирования ml*

а удельное усилие деформирования (опускаем знак минус, озна­чающий сжатие)

^{P = 0}_s^{+4"tkX' (6-43)}

В дальнейшем вопрос об удельном усилии деформирования при осадке будет разобран подробно.

Используем теперь начало возможных переме­щений. Пусть тело находится в пластическом равновесии под действием заданных внешних сил и перемещений. Будем считать, что точкам тела сообщены дополнительные бесконечно малые и непрерывные кинематически возможные, т. е. совмести­мые с граничными условиями, смещения Ьи_х, Ьи_у и Ьи_г. Тогда работа внешних сил получит приращение

^ЬА_В ^{= J J (ХЬи}_х ^{+ Ybu}_y ^{+ Zbu}_z^{) dF.}

F

В свою очередь, работа внутренних сил получит приращение

6Л_С= JJJo_b6e,dV.

v

Согласно началу возможных перемещений сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях ¹ около состояния равновесия равна нулю [34].

Это можно выразить следующим образом:

^{J J |о}₅^б8_г ^{dV - j \ (Xbu}_x ^{+ Ybtiy + Zbu}_z^{) dF = 0, (6.44)}

V F

или иначе

^{J j J a}_s^{e, dV - J j (Xu}_x ^{+ Yu„ + Zu,) dF}

= 0. (6.44 V

Величина в квадратных скобках носит название полной энер­гии Э, и сокращенно уравнение (6.44) можно написать в форме

¹ Например, для случая осадки смещения по координатам р и 0 являются кинематически возможными, а по координате Z они кинематически запрещены.

ЬЭ = 0. (6.446)

Уравнение (6.44) показывает, что действительная форма равно­весия пластически деформируемого тела отличается от всех других мыслимых форм тем, что сообщает полной энергии минимальное значение [34]. Это один из так называемых экстремальных принципов.

Практическое использование экстремальных принципов для решения задач в теории обработки металлов давлением начато сравнительно недавно в работах И. Я. Тарновского, А. А. Поз-деева, О. А. Ганаго [101, 102] и др.— в одном плане; Л. Г. Сте-панского [95] и др.— в другом; Г. Я. Гуна [19] и др.— в третьем.

Метод баланса работ при использовании экстремальных прин­ципов, в частности, дает возможность в большей степени, чем другие, приближенно описывать формоизменение в процессе деформации, например бочкообразность при осадке.

Однако уравнение (6.44) является вариационным и, таким образом, применение принципа наименьшей энергии требует часто использования методов вариационного исчисления, и все же решения, как и при использовании всех других методов, можно получить только приближенные. В ряде случаев минимизацию решения можно выполнить элементарным путем ^г.