1 Более точные доказательства см. В работах [34, 73, из]. 7 м. В. Сторожев

(6.13) для этого значения х_хг получим cos 2© = 0, © = i:45° = = =tn/4, т. е. линии скольжения обоих семейств пересекают сво­бодную поверхность (а также контактную поверхность при отсут­ствии трения) под постоянным углом 45°.

Если трение достигает на контактной поверхности максималь­ного значения, т. е. \т_хг\ = k, то cos 2©= 1; w = 0; ©, = ©;£

90° = 90°. Таким образом, при максимальном трении контакт­ная поверхность является огибающей для одного семейства линий скольжения и геометрическим местом точек возврата для линий другого семейства. При промежуточном значении контактного касательного напряжения значения углов ю также будут промежу­точными: 0 <s т <; k; я/4 < со < я/2; я/4 > со > 0.

Зная величину т_хг, эти углы можно определить по уравнению (6.13).

Резюмируем вкратце сказанное об основных свойствах линий скольжения.

1. Линии скольжения непрерывны.

2. Линии скольжения образуют два семейства.

3. Семейства линий скольжения взаимно ортогональны.

4. Линии скольжения пересекают траектории главных напря­жений под углом я/4.

5. Изменение среднего нормального напряжения при движении вдоль линии скольжения пропорционально углу ее поворота.

6. Угол между касательными к двум линиям скольж,ения одного семейства в точках пересечения их линиями другого семей­ства остается постоянным.

7. Радиусы кривизны линий скольжения изменяются на вели­чину расстояний, пройденных по линиям скольжения другого семейства.

8. Углы наклона линий скольжения при выходе на контур зависят от величины касательного напряжения на контуре.

6.4.3, Характеристики

Исключим из уравнений (6.14) переменную а_ср, для чего первое уравнение продифференцируем по z, второе по ж и вычтем одно из другого:

_{—№ +}^{2 ct}_« ²_{"-ет + -щг -}⁴ _шт+

_<"<»

Полученное уравнение в обобщенной форме может быть напи­сано так:

^Al^ + ^2BWb4+^C-bW + ^F (*'^г< Ж' 1Г)=°- ^^20а)

Тогда уравнение в обыкновенных производных вида

A dz* — 2В dx dz + С dx* = 0 (6.206)

будет являться, как говорят в теории дифференциальных уравне­ний, уравнением характеристик уравнения (6.20а), а его реше­ния — характеристиками.

Составим уравнение характеристик для (6.20):

—dz² — 2ctg 2со dx dz + dx^% = 0.

Определяя отсюда dzldx как явную функцию со, имеем

dz i г, -л /—г^-5~н—;—; cos 2со 1

— ctg 2со zt У ctg² 2со -f 1 =

dx ^{s r 6} ' sin 2co sin 2<a

откуда получим два дифференциальных уравнения характеристик уравнения (6.20):

(⁶-²¹>

Сравнивая уравнения (6.12) и (6.21), заключаем, что линии скольжения совпадают с характеристиками дифференциального уравнения (6.20). Решения уравнений характеристик осущест­вляются преимущественно с приведением их к так называемой кано­нической форме путем замены переменных х и у новыми перемен­ными | и т). На основании интегралов Генки (6.16) примем

% = I (а); Г) = т) (Р).

Тогда, исключая из уравнений (6.16) сначала а_ср, а затем со, получим

со = 0,5 ft — I); о_ср = k (т) + £); 2 + 4 = -^,

!( и j являются функциями координат аир, следовательно, они являются функциями переменных 5 и т). Поэтому имеют смысл выражения

дх д\ (5т) dz

Умножая на эти выражения соответственно первое и второе уравнения (6.21), получим

dz дх дх . _ю>

dx dz ~~ dz ^{С gco}>

откуда, заменяя знаки производных, окончательно получим си­стему ¹

дг дх дг дх •

-=г~ — -=г- Щи -тг = ctg со

дц дц ^ь ' д\ dg ⁶ '

со = 0,5 ft - |); а_ср = k (х\ + |).

(6.22)

Линии скольжения из этих уравнений определяются в параме­трическом виде х = /_х(ё, tj) и 2 = /₂(Е, т]).

Если решить уравнения характеристик, то станут известны линии скольжения и можно будет вычислить напряжения. Однако получение решений в замкнутой форме оказывается возможным в отдельных случаях. В, общем случае применяют численное ин­тегрирование уравнений характеристик, при котором вместо оты­скания общего решения определяют искомые функции в конечном числе узловых точек сетки характеристик ².

6.4.4. Виды полей линий скольжения

Простейшее поле линий скольжения представляет собой с и -стему двух ортогональных семейств прямых линий. Поскольку углы поворота линий скольжения каждого семейства в этом случае равны нулю, среднее напряжение а_ср остается постоянным в любой точке поля в соответствии с уравне­нием (6.18). Следовательно, такое поле выражает однородное (рав­номерное) напряженное состояние, при котором параметры | и ц также постоянны. Среднее напряжение а_ср — единственная неиз­вестная величина, которую надо определить из граничных усло­вий. У прямолинейной свободной границы или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой полем линий скольжения всегда является сетка ортогональных прямых, образующих углы 45° с гра­ницей (рис. 6.13, а).

В другой группе полей линий скольжения одно семей­ство линий скольжения состоит из прямых линий, а другое — из кривых, к ним ортого­нальных. Такие поля называют простыми. В этом случае при перемещении вдоль каждой из прямых линий скольжения среднее напряжение о_ср остается постоянным, но изменяется при переходе от одной к другой прямой линии скольжения. При этом если кри­вые линии скольжения считать принадлежащими к семейству а, то параметр £ будет постоянным (рис. 6.13, б).