6.3. Основы метода расчета деформирующих усилий по приближенным уравнениям равновесия и условию пластичности

Непреодолимые трудности точного интегрирования дифферен­циальных уравнений равновесия совместно с условием пластич­ности привели к тому, что исследователи (Г. Закс, Э. Зибель, С. И. Губкин, И. М. Павлов, И. Л. Перлин, Е. П. Унксов, А. И. Це­ликов, Л. А. Шофман и др.) уже давно, с 20—30-х годов, при реше­нии практических задач по определению деформирующих усилий (при осадке, протяжке, прошивке, выдавливании, прокатке, воло­чении и т. п.) вводили упрощающие предпосылки, составляли 180 для каждого случая упрощенные уравнения равновесия и решали их совместно с условием пластичности, выраженным в главных напряжениях.

Однако вследствие отсутствия общей методики составления упрощенных уравнений и отсутствия учета влияния упрощающих предпосылок на точность получаемых результатов иногда возни­кали весьма значительные ошибки. Впоследствии Е. П. У иксов произвел детальный теоретический анализ возможности введения тех или иных упрощающих допущений и разработал метод состав­ления и использования приближенных, а также ограниченных уравнений равновесия и пластичности, теоретически и экспе­риментально доказав их вполне достаточную практическую точность.

Сформулируем этот метод, следуя в основном Е. П. Унк-сову [108, 109], с учетом последующих уточнений [97, 98].

1. Задачу приводят к осесимметричной или плоской. В случае сложности формы деформируемого тела необходимо разбить его на ряд объемов, на которые можно наложить условия осесимме­тричной или плоской задачи.

2. Распределение нормальных напряжений определяют только для контактной поверхности (что и требуется для вычисления удельного усилия деформирования) при отказе от выявления рас­пределения напряжений внутри тела.

3. Дифференциальные уравнения равновесия (3.39), (3.50), (3.51), взятые в форме и координатах, отвечающих условиям за­дачи, упрощают. Для этого, в частности, принимают нормальные напряжения зависимыми только от одной из координат, что будет отвечать изложенному в п. 2, а зависимость касательных напряже­ний от соответствующей координаты обычно принимают линейной. В результате число дифференциальных уравнений равновесия сократится до одного, которое будет содержать простые производ­ные взамен частных, как в точных уравнениях равновесия. С по­рядком упрощения дифференциальных уравнений равновесия мы ознакомимся в дальнейшем, в гл. 7, при рассмотрении операций обработки металлов давлением.

4. Условия пластичности обычно используют также прибли­женные, которые приведены ниже.

Рассмотрим возможности получения приближенных уеловий пластичности. При анализе операций обра­ботки металлов давлением в большинстве случаев необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия, со­ставленными в компонентах тензора напряжений, т. е. в напряже­ниях, заданных не в главных координатных плоскостях.

Отсюда следует, что для решения этих уравнений совместно с условием пластичности последнее надо бы выражать также в компонентах тензора: (5.5), (5.10), (5.12), (5.14) и (5.15). Все перечисленные уравнения являются достаточно сложными и,глав­ное, нелинейными, что резко затрудняет совместное с ними реще­ние дифференциальных уравнений равновесия даже для осесимме-тричной и плоской задач.

Поэтому желательно эти уравнения упростить, заменив их линейными уравнениями, хотя бы и приближенными. Линейную форму имеет уравнение (5.18), которое при соответствующем выборе коэффициента 6 является точным при равенстве двух из трех главных напряжений (6 = 1) и при плоском деформирован­ном состоянии ^В = y= — 1,155

Уравнение (5.18) определяет соотношение между главными нор­мальными напряжениями, необходимое для перехода в пластиче­ское состояние. Однако для получения приближенного условия можно допустить замену в уравнении (5.18) главных нормальных напряжений нормальными компонентами тензора в том случае, если его касательная компонента т относительно мала. Тогда, учитывая уравнения (5.18), а также (5.13), (5.17) и (5.19), получим следующие приближенные выражения условия пластичности для случая ма­лых значений т_к, величина которых будет уточнена дальше:

_{а) осесимметричное напряженное состояние при стр =/= ст9 =/= а}г

Ор-	о0 =	± Pos
или
	°гг =	± 14,
или
		±рЧ

(6.6)

в зависимости от того, какая из разностей представляет собой раз­ность крайних напряжений;

б) осесимметричное напряженное состояние при а_р = ст_е

о_р - ст_г = ± o_s; (6.7)

в) плоское деформированное состояние при а_у — о_ср

о_х — о_г = ± ст₅; (6.8)

г) плоское напряженное состояние

(6.9)

о_л- — о_г = ± Bo_s (при о_хо_г<0);

о* = ± рЧ

(при о_хо_г>0 и |а_х|>|а_г|);

о_г = ± 14

(при а_ха_г>0 и |о₂|> 41).

Понятно, что, приняв в случаях «а» и «г» 6 = 1, мы перейдем от энергетического условия пластичности к условию пластичности по постоянству главных касательных напряжений.

182

Приближенные выражения условия пластичности типа (6.6)— (6.9) уже сравнительно давно применяли Э. Зибель [28], Г. Закс [127], С. И. Губкин, Е. П. Унксов, а впоследствии и многие дру­гие исследователи. Однако в отдельных случаях ошибочно пользо­вались выражениями (6.6)—(6.9) при значениях т, близких к пре­дельным (т_к —> k), когда эти выражения неприемлемы. Для боль­ших значений т_к приближенное выражение условия пластичности было предложено Е. П. Унксовым [108].

Напишем условие пластичности для осесимметричного напря­женного состояния (5.14) и плоского напряженного состояния (5.12) в таких формах:

V2a_s

Г>р - <*е)² + (<*е - o₂f + (а_г - в_р)* Г 4j~.

^{= У I--fei"' (*)}

_V¹

XZ

/г²

(б)

Левые части уравнений (а) и (б), выражающие соотношение между нормальными напряжениями и постоянной a_s, являются функцией касательного напряжения т. Величина последнего (абсо­лютная) может изменяться в пределах от нуля до максимальной величины, равной k.

Если т = 0, то из уравнений (а) и (б) легко получить выраже­ния (6.6), (6.7) и (6.8), принятые ранее в качестве приближенных для условия пластичности при т_к —> 0. При подстановке же в урав­нения (а) и (б) предельного значения т = k получаем

°p = ^ae = ^a* (6.10а)

или

о\ = = ст_г. (6.106)

При подстановке т = k в уравнение (а) следует учесть, что сумма квадратов разностей напряжений сг может быть равна нулю только при равенстве этих напряжений. Из уравнения (б) при т = к получается о_х — ст_г, но поскольку ст_у = 0,5 (о_х + о₂), то и

= о_х = ov

Выражение (6.10), являющееся точным в случае т = k, можно применять как приближенное при значениях т меньших, но достаточно близких к k. Для плоского напряженного состояния приближенного выражения, аналогичного равенствам (6.10), не существует.

Исследуя уравнения (а) и (б), можно установить, что значения разности нормальных напряжений, вычисленные по приближенным выражениям (6.7) и (6.8), отличаются от действительных величин меньше чем на 5%, если т_к < 0,3/е, и меньше чем на 10%, если т < 0№-

По мнению Е. П. Унксова, приближенные выражения условия пластичности (6.6)—(6.9) можно применять вплоть до значений

т_к < 0,7k. Таким образом, выражения (6.6)—(6.9) можно считать действительными при 0 < т_к <• 0,7&, приближенные же выраже­ния (6.10) применимы в случае 0,7& < т <

Весьма часто при решении практических задач условие пластич­ности необходимо для того, чтобы выразить производную одного напряжения по данной координате через производную другого напряжения по той же координате. Исследуем этот вопрос.

Дифференцируя уравнение пластичности (5.15) для осесимме-тричного напряженного состояния (при ст_р = сг₉) и (5.12) для пло­ского деформированного состояния по какой-либо координате, например соответственно по р и х, получим

<°.~°>>(^-|rHv^-; (в,

<"•—•>(&-&)-*-Т^- М

Если значения т не зависят от координаты р или х (например, постоянны или изменяются параметрически), то правые части урав­нений (в) и (г) обращаются в нуль. Тогда, учитывая, что разности нормальных напряжений в левой части уравнений в общем случае не равны нулю, получим

для осесимметричного напряженного состояния при о_р = с₉ и = iЈ. „ли да_х = да_г (6.116)

для плоского деформированного состояния.

Понятно, что уравнения (5.15) и (5.12) можно было бы дифферен­цировать и по любой другой координате.

Таким образом, уравнения (6.11) представляют собой выраже^ ния условия пластичности в дифференциальной форме. При любых не зависящих от данной координаты значениях т выражения (6.11) будут точным условием пластичности для указанных видов напря* женного состояния. Если же значения т зависят от данной коорди­наты, то выражением (6.11) можно пользоваться как приближен-» ним [97, 108].

Легко видеть, что уравнения (6.11) можно получить, кроме того, дифференцированием уравнений (6.7) и (6.10а), (6.8) и (6.106)* а также (6.6) и (6.10а). Результаты дифференцирования уравнений (6.6) и (6.10а) показывают, что выражение (6.10а) пригодно как приближенное и для осесимметричного напряженного состояния при ст₉ ф а_р.

184