6.2. Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности

Этот метод заключается в совместном решении системы из диф­ференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи.

Произвольные постоянные определяют из граничных условий. При наличии трения необходимо задать условия трения, опреде­ляющие касательные напряжения на поверхностях контакта. Условия трения принимают практически только в двух формах: либо контактные касательные напряжения считают независимыми от координаты, по которой они направлены, т. е. постоянными [см. выражение (5.46)1, либо их считают пропорциональными нормальным напряжениям на поверхности контакта [см. выраже­ние (5.44)1.

Если задача представляется статически неопределимой, то дополнительно используют уравнения связи между напряжениями и деформациями и уравнения неразрывности деформаций.

Решение в принципе должно дать величину и распределение напряжений по всему объему тела, т. е. значения напряжений как функции координат точек тела, в том числе и лежащих на поверх­ности, непосредственно воспринимающей активное усилие. К со­жалению, такое решение возможно лишь в отдельных частных слу­чаях и то при отсутствии (или в предположении отсутствия) сил трения на контактных поверхностях.

Разберем теперь возможности решения дифференциальных уравнений равновесия для различных видов пластически напря­женного состояния.

При объемном напряженном состоянии мы располагаем тремя уравнениями равновесия (3.38), в которые входят шесть неизвест­ных (три нормальных и три касательных напряжения) и условие пластичности (5.5), заключающее те же неизвестные.

В этом случае в четырех уравнениях шесть неизвестных, и за­дача дважды статически неопределима. Дополнительно можно использовать уравнения связи между напряжениями и деформа­циями и уравнения неразрывности деформаций, которые внесут, однако, новые неизвестные (шесть деформаций и модуль пластич­ности). В результате можно получить 13 уравнений с 13 неизвест­ными [31. Однако, несмотря на то, что количество неизвестных будет соответствовать числу уравнений, практически решение этой системы невозможно.

Таким образом, объемная задача в общем виде (шесть напряже­ний, каждое из которых есть функция трех координат) является пока неразрешимой.

Для осесимметричного напряженного состояния есть два урав­нения равновесия (3.39), содержащие четыре неизвестных, и усло­вие пластичности (5.14), в которое входят те же неизвестные. Таким образом, осесимметричная задача так же, как и объемная, статически неопределима, и для решения ее требуется привлечение уравнений связи между напряжениями и деформациями (четыре уравнения, которые внесут четыре новых неизвестных) и уравне­ние совместимости деформаций. Всего получим восемь уравнений с восемью неизвестными. Отсюда следует, что осесимметричная задача значительно проще объемной. Однако точные замкнутые решения этой задачи существуют только для отдельных частных случаев, когда касательное напряжение на контактной поверхности или отсутствует, или зависит только от одной из двух координат, входящих в условия равновесия.

Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний располагаем двумя уравнениями равновесия (3.50) в декартовых координатах или (3.51) в полярных координатах и условием пластичности (5.10) или (5.12). В этих трех уравнениях содержится три неизвестных. Таким образом, число уравнений со­ответствует числу неизвестных. Тем не менее для системы уравне­ний этой задачи существуют точные замкнутые решения тоже лишь для частных случаев при касательных напряжениях на контактной поверхности, равных нулю или не зависящих от одной из двух координат, входящих в уравнения равновесия.

К числу осесимметричных и плоских задач, для которых метод интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совме­стно с условием пластичности дает при вышеуказанных предпосыл­ках точные замкнутые решения, например, относятся: пластиче­ское равновесие толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений (А. Надаи [56]), сжатие бесконечной полосы между шероховатыми плитами при т_к = const (Л. Прандтль [103]), сжатие клина (А. Надаи [56]), равновесие пластической массы, заполняющей форму конуса (В. В. Соколовский [91]), осадка без трения толстостенной трубы, замкнутой в матрицу (Л. Г. Степан-ский [94]), и др.