5.4. Частные выражения условия пластичности

Для плоского напряженного состояния было принято

ву ~ ^Хху — Х_гу — 0.

Подставляя эти значения в условие пластичности в компо­нентах тензора напряжений (5.5)

(Ох - Оу? + (о_д - о_г)² + (о, - о*)² + + 6 (х% + х% + х\_х) = 2о\,

получим

(<*х — Ог)² + 0²_х -f ol + 6lЈ_z = 2о\ * 131

или

о-². _|_ о²_г — а_ха_г + Зт% = a²_s, (5.10)

а в главных напряжениях (т_хг = 0)

о² + о! — 0-1СТ3 = о²; _f

это выражение (5.9) получено ранее.

При плоском деформированном состоянии

о_х-{- а₂ «

следовательно,

^{(0д — Ог)" + [ 0г — 4" (ff* + °*)]2 +}

^{+ [4" +°^—°хТ+6т^= 2°"}

раскрывая скобки и преобразовывая, получим

(0* — 0_г)² + 4т²₂=--|" °- <^5Л1)

Ранее обозначали (стр. 124)

теперь обозначим дополнительно 2

и, следовательно,

o_s = 2k или k — -у-.

Учтя эти обозначения из формулы (5.11), получим

(о, - а_г)² + = (oD² = 4£². (5.12)

В главных напряжениях для плоского деформированного со­стояния имеем

2 *

en — а₃ = ± -р=г o_s = + o_s = ±2k, (5.13)

но o_L — о₃ есть удвоенное главное касательное напряжение, сле­довательно,

т₁₃ = ± у= a_s = ± 4" °* = ± ^й- (5.13а)

1*1

Таким образом, £ = -у- o_s — 0s есть максимальная вели­чина, которой может достичь главное касательное напряжение при пластической деформации.

132'

Для овевимметричного напряженного со­стояния

^тре ~ ^хл — ®-

Изменяя в уравнении (5.5) индексы х и у соответственно на о и 9, получим

(о-р — а_е)² -f (а₀ — o_zf + (а_г — а_р)² +

+ 6т²_г = 2а² (5.14)

или в главных напряжениях

^{(си — а}₂^{)2 + (а}₂ ^{— о}₃^{)2 4- (аз — c?i)2 = 2а2.}

Последнее, естественно, не отличается от общего выражения условия пластичности (5.3).

В частном случае, если о_е = о_р, из уравнения (5.14) имеем

(dp — a_z)² 4- Зт²_г = о², (5.15)

а учитывая из уравнения (5.13а), что a_s = ]/3 k, получим урав­нение, построенное аналогично уравнению (5.12),

(а_р - а_г)² 4- Зт²_г = Зй². (5.15а)

5.5. Влияние среднего по величине главного нормального напряжения

Пусть главное нормальное напряжение с₂ имеет величину про­межуточную между о_х и а₃, т. е. удовлетворяется какое-либо из двух неравенств

Oii>a₂E>o₃ или о₁<а₂<о₃. (5.16)

Такое по величине напряжение о₂ будем называть сред­ним главным и обозначим о_сГ [о_сГ не следует смешивать

со средним нормальным напряжением о_ср = ~^~(^ai 4- сг₂ + о₃);

см. уравнение (3.28)]. Напряжения Ох и о₃ в этом случае будут крайними (одно из них максимальное, другое минимальное). Для установления, какое из напряжений является средним глав­ным, надо учитывать знаки напряжений, а не только их абсолют­ную величину: положительное напряжение считается большим вне зависимости от абсолютной величины отрицательного напря­жения; отрицательное напряжение с меньшей абсолютной вели­чиной больше отрицательного с большей абсолютной величиной, т. е. рассматривается алгебраическая величина напряжения.

Возьмем случай, когда о₂ = о_сТ = oy, тогда из условия пла­стичности (5.3) получим

(oi - о₃)² 4- Оз - th)² = 2a²,

откуда

о₃ = ± o_s или т₁₃ = ± -i- o_s. (5.17)

Знаки :£ поставлены потому, что a_s считается существенно положительным, а разность о_х — а₃ согласно условию (5.16) может иметь любой знак.

Пусть теперь а₂ = ст_сР = о₃. Тогда, подставляя в уравнение (5.3), имеем

1

о₁ — o_s = ± o_s или т₁₃ = ± -j- o_s,

т. е. опять получили выражение (5.17), что и в предыдущем слу­чае. Эти зависимости словесно можно сформулировать так.

При среднем главном нормальном напряжении, равном одному из крайних, пластическое состояние наступает, если разность крайних главных нормальных напряжений равна напряжению теку­чести или если соответствующее главное касательное напряжение равно половине напряжения текучести.

Среднее главное нормальное напряжение о₂ = о_сГ может из­меняться лишь в пределах между а_г и о₂ (в противном случае оно само станет крайним, а какое-то другое — промежуточным). Возьмем теперь среднее значение о₂:

°2 —^СТСГ — о

В таком случае напряжение о₂ не только удовлетворяет нера­венству (5.16), но и является средним нормальным напряжением вообще:

о₂ — осг = о_ср = g — —2—,

а деформированное состояние — плоским. Подставляя это значе­ние о₂ в условие пластичности (5.3), получим

^{(*-^)Ч№-*)Ч}

+ (о₃ - от)² = 2o²_s,

откуда

-§- (oi — о₃)² = 2о², и, наконец, как и раньше (5.13),

°^{1_03= ±}7f °-

Из сравнения выражений (5.17) и (5.13) следует, что для любого значения о₂ = о_сР можно написать

- <*i — о₃= ± РЧ (5.18)

134

или

о,

max

min

— О,

SI

= рЧ

(5.18а)

где р — переменный коэффициент, изменяющийся в незначитель-

2

ных пределах от 1 до — 1,155 и достигающий наибольшей ве­личины при плоском деформированном состоянии.

Уравнение (5.18) является упрощенной записью условия пластичности. Им можно пользоваться при рассмотрении объемного напряженного состоя­ния как приближенным, но более простым, чем условие (5.3). Выражая же разность главных нормальных напряжений через главное касательное напряжение, получим

т_]3= ± -j- рЧ-

(5.186)

Понятно, что поскольку напряжения о_ь о₂ и о₃ равноправны, постольку можно написать неравенства (5.16) при любых других комбинациях индексов, что не повлияет на сделанные выводы.

При решении же конкретных задач необходимо выбирать ин­дексы, соответствующие условиям задачи, т. е. выяснять, какое главное нормальное напряжение является средним и какие — крайними.

Упрощенной записью условия пластичности можно пользо­ваться и при рассмотрении задач на плоское напряженное состоя­ние. Но здесь надо учитывать напряжение с₂ = 0, которое может быть и крайним, и средним. Если напряжения а_х и о₃ имеют раз­ные знаки, т. е. о^Оз < 0, то напряжение о₂ является средним. Если же Of и о₃ положительны (а₁о₃ > 0), то о₂ минимальное; если о_х и а₃ отрицательны (а_ха₃ > 0), то о₂ максимальное, или вообще, если а_хо₃ > 0, то о₂ будет крайним.

Учитывая сказанное, для плоского напряженного состояния на основании уравнения (5.18) получим

0i — о₃ = ± рЧ (при о_ха₃ < 0);

±рЧ (при о^д^О и | а_г | £> | о₃1);

(5.19)

0₃= ± К (при OiOg^ 0 и |а₃|>| Oil). )

Коэффициент 6 является функцией главных нормальных на­пряжений 6 = / (Of, о₂, о₃).

Его можно выразить аналитически. Для этого вернемся к диа­грамме Мора (см. рис. 3.7). Точка В на этой диаграмме в зависи­мости от величины среднего главного напряжения может пере­мещаться в пределах диаметра большого круга между точками Л и С Выразим ее относительное расстояние v₀ от центра этого круга в форме

О2-

При этом отрезок 0₂В считаем положительным, если он напра­влен вправо от точки 0₂. На рассматриваемом чертеже он отри­цательный. Учитывая это, можно написать (см. рис. 3.7)

Oj + Os

ov

2 2а₂ — ai — Og

(5.20)

или

°max "mln

2а_сг — o_max — g_mln °max — °min

(5.20a)

(т.

При a₂ е. при

(т. е. при o_cF

_х) ^va — 1. а при а₂

= a_mln) v„ = —1; наконец, при с₂ = °' °³

0.

т

) v₀ =

. е. при а_С^г

Таким образом, v₀ изменяется в пределах от Из уравнения (5.20) можно определить о₂:

■1 До 1.

<т — ^V° (°t — Р₃) | Ol + 0.3

2 ¹ 2

Подставляя это значение о₂ в условие пластичности (5.3) и производя необходимые преобразования, получим

2

а, =

Сравнивая полученное выражение с условием пластичности (5.18), можно усмотреть, что

Р = т7==- (⁵-^2!>

+ v²„

График изменения |3 показан на рис. 5.4. Он представляет собой участок параболы. Этот теоретический график отвечает экспери­ментальным данным В. Лодэ.

Величина v„ определяется соотношениями между главными нормальными напряжениями и поэтому характеризует пласти­ческое напряженное СОСТОЯ-

-1

Рис. 5.4 136

ТЬ

-1

ние точки, точнее, девиатор напряжений, поскольку \>₀ не зависит от шарового тен­зора (гидростатического дав­ления).

Если для всех случаев принять р = 1 (т. е. не учи­тывать влияние среднего главного нормального на-

пряжения), то условие пластичности для общего случая выра­зится так:

0j — а₂ = ± a_s; о_а — о₃ = ± o_s; о₃ — а_г = ± о, (5.22)

или

= ± -j- a_e. (5.22а)

Такое условие пластичности можно сформулировать следую­щим образом:

пластическое состояние наступает и поддерживается, если одна из разностей двух главных нормальных напряжений стано­вится равной напряжению текучести вне зависимости от значений двух других, т. е. независимо от величины, среднего главного на­пряжения.

Иначе можно сказать так:

пластическое состояние наступает, если какое-либо одно из главных касательных напряжений достигает величины, половины напряжения текучести.

Здесь так же, как и ранее, следует учитывать замечания, сде­ланные в отношении напряжения текучести (стр. 123).

Это условие пластичности носит название условия по­стоянства главного касательного напря­жения или условия постоянства разности главных нормальных напряжений. Оно было высказано Г. Треска и разработано Б. Сен-Венаном значительно раньше, чем было сформулировано более точное энергетическое условие пластичности.

Условие постоянства главных касательных напряжений и усло­вие постоянства интенсивности касательных напряжений совпа­дают:

1) при линейном напряженном состоянии;

2. при объемном напряженном состоянии, когда среднее глав­ное напряжение равно одному из крайних, т. е. два из трех глав­ных нормальных напряжений равны между собой (по величине и знаку);

3. при плоском напряженном состоянии, когда оба напряже­ния, отличные от нуля, равны (по величине и знаку, как всегда, когда идет речь о равенстве напряжений).

Максимальная разница между двумя указанными условиями возникает при плоском деформированном состоянии, т. е. когда среднее главное нормальное напряжение равно полусумме край­них.

Предельная поверхность по условию постоянства главных касательных напряжений [уравнение (5.22)] имеет вид правиль­ной шестигранной призмы, вписанной в цилиндр, представляю­щий собой предельную поверхность пластической деформации по энергетическому условию. Контуром же пластичности для плоского напряженного состояния будет шестиугольник (см. рис. 5.3).

Если для плоского деформированного состояния подставить в какое-либо из уравнений (5.22), например в третье, значения главных нормальных напряжений из уравнения (3.43), то получим условие пластичности по принципу постоянства главных каса­тельных напряжений для любых осей

(о,-о_г)² + 44= о², (5.23)

Сравнивая уравнения (5.22) и (5.23) соответственно с уравне­ниями (5.13) и (5.12), легко обнаружить, что условие постоянства главных касательных напряжений и условие постоянства интен­сивности касательных напряжений отличаются для плоского де­формированного состояния только постоянными (о\, и о*) в правых частях уравнений.