5.2. Физический смысл условия пластичности

Выясним физический смысл условия пластичности, пользуясь уравнением (5.3). Для этого обратимся к потенциальной энергии деформации.

Полная потенциальная энергия деформации А_л представляет собой сумму потенциальной энергии изменения объема А₀ и потен­циальной энергии изменения формы А_ф:

К = А, + А_Ф,

откуда

Из теории упругости известно, что удельная потен­циальная энергия деформации (т. е. отнесенная к единице объема) равна половине скалярного произведения тен­зора напряжений на тензор деформаций. Это произведение пред­ставляет собой сумму произведений компонент напряжений на компоненты соответствующих деформаций. В главных осях икеем

<а₁ О О "J Г _6l О (Ь

Т„ = J . а₂ 0 и Т_Е = . е₂ 0 ;

[ . . o.J { • • е₃ J

отсюда

^An = -j- (OiEj + а₂е₂ + а₃е₃). Из сопротивления материалов известно, что Јi = 4" ^[0i ^_ (⁰2 + ог₃)]; Ч = 4" 1°2 —И_Р(^ + 0])];

^ез = 4 ^[0з — И_Р Oi + ^ста)]. где iip — коэффициент Пуассона.

Значит,

^А" ⁼ ~W (⁰i f^ffi ~ + ⁰з)1 + о₂ [о_я —

— Ир (о-₃ + + ^аз \<*з — Ир (о^-! + о₂)1) = = ~2£- К⁰? 4- о² + аз) — 2р,_р (а,а₂ + ст₂а₃ + а₃а,)].

Удельная потенциальная энергия изме­нения объема определится тем же способом, но за исход­ные данные необходимо взять шаровой тензор напряжений и ша­ровой тензор деформаций

о_ср О 0 > ,е_ср О О

Tl = \ • о_ср 0 и Tl = . е_ср О

отсюда

⁼ ~2~ (о_Срб_ср -f- о_сре₍.р -f- о_Сре_Ср)= о_ср8_ср,

но

_{оср = 4" (°i + о2 + о3),}

или, пользуясь выражениями деформации, приведенными выше, получим

е_ср = 4ё (^[(tl ~ ⁽⁰² + ^0з)] +

+ [о₂ — Ир (о₃ + о,)] + [а₃ - и_р (а_х + а₂)]) =

= К + о₂ + о₃ — 2(1_р (а_х + а₂ + а₃)1;

Л₀ = Д (Oi 4- о₂ + а₈) ~ [Oi + а₂ + а₃ -

следовательно,

2 ,

₂.₃ №-г "а-г «з/ _3£-—2ц_р (а, + а₂ + а₃)] = [(Oj + а₂ + а₃)^; -2_]х_р[(о₁ + о₂ + о₃П

Удельная потенциальная энергия изме­нения формы

А* = А_п - А₀ = [{&l + ol + <® -

— 2li_p (cTi(J₂ -f а₂а₃ + а^)] -

— -ъё №i + ^ + ⁰з)² - 2ц., (а, + а₂ + а₃)²], т. е.

^ЛФ ⁼ ~бТ I³ ^ + ⁰2 -f аз) — 6ц,_р (а^г + а₂а₃ + а^) —

— (©1 + ог₂ + ^стз)² + 2li_p (а_х + а₂ + а₃)²] =

⁼ "eV (t³ (⁰i + °2 + ^аз) — (ai + а₂ + а₃)²] + + И_Р [2 (а_х + а₂ + а₃)² — 6 (а^ + а₂а₃ + a^)]}

или

Л_ф= 1(3а² + са₂ + За² — а² — а₂-~

— а² — 2aia₂ — 2а₂а₃ — 2a₃ai) -f + ц._р (2а² + 2а₂ + 2а², -f 4_0la₂ + + 4а₂а₃ -f- 4a₃ai — 6a_xa₂ — 6а₂а., —

-бозо,)] = Цт^ (2а² + 2а₂² + 2а?, - 2а,а₂ -—2а₂а₃ — 2a._sa_L). Окончательно получим

^ЛФ = ЧтГ ¹⁽⁰¹ ~ ⁰^ + ^((Т* - ⁰^ + <^ст* - <*i)^al. (5.6)

Сопоставляя уравнения (5.6) и (5.3), можно установить, что при выполнении условия пластичности

А_ф= ЦЬ^ 2a² = const. (5.7)

Таким образом, рассматриваемое условие пластичности равно­сильно утверждению, что количество удельной потенциальной энергии упругой деформации формы элемента металлического тела при его пластической деформации является для данных условий деформации (степени, скорости и температуры деформации) величиной постоянной независимо от схемы напряженного состоя­ния.

Понятно, что если взять это положение за основу, то можно получить из него условие пластичности согласно уравнению (5.3).

127

Известно, что при линейном растяжении о₂ = а₃ = О, а пла­стическое состояние наступит, если напряжение о_х станет равным напряжению текучести o_s. Подставляя эти значения напряжении в уравнение (5.6), получим величину удельной потенциальном энергии упругой деформации формы в момент начала пластическом деформации при линейном растяжении:

А_фл=Ц^в1 (5.8)

Так как по приведенному принципу величина Л_ф не зависит от схемы напряженного состояния, то правые части выражений (5.8) и (5.6) должны быть равны, т. е.

1+12. ₀1 ₌ 1+Ж _[(01 _ _ад* _{+ (СТ2} _ _{азГ +} (а, - а,)'],

откуда

(a_L — о,)² + (о₂ — a_;i)² 4- (о₃ — a_x)² = 2о²,

т. е. мы получили условие пластичности (5.3).

Физический смысл условия пластичности Губера—Мизеса был установлен Г. Генки в 1924 г. В связи с этим физическим смыс­лом условию пластичности, приведенному выше в различных фор­мах, дано название «энергетическое».

Таким образом, условие пластичности Губера—Мизеса, пред­ставленное формулами (5.1)—(5.5), носит в литературе несколько наименований:

условие постоянства интенсивности напряжений;

условие постоянства октаэдрического касательного напряжения;

условие постоянства интенсивности касательных напряжений;

условие постоянства удельной энергии изменения формы или энергетическое условие.

В дальнейшем мы будем в основном пользоваться термином «энергетическое условие» как наиболее кратким.

Наиболее ранняя экспериментальная проверка энергетического условия пластичности была проведена А. Надаи и В. Лодэ (1926 г.). В дальнейшем этому вопросу был посвящен ряд исследований, ко­торые также подтверждают энергетическое условие пластич­ности. В частности, проверкой законов пластичности занимался Г. А. Смирнов-Аляев, исследования которого также дали поло­жительные результаты.