4.4. Однородная деформация

Как видно из уравнений (4.2), компоненты малой деформации элементарного параллелепипеда, т. е. малые деформации в окре­стностях данной материальной точки деформируемого тела, явля­ются линейными функциями от производных перемещений по координатам. В свою очередь, если рассматривается бесконечно малая окрестность точки, то самые перемещения следует считать линейными функциями координат, а следовательно, их производ­ные, выражающие деформации, являются постоянными.

Деформация, характеризующаяся тем, что перемещения явля­ются линейными функциями координат и величины относительных деформаций постоянны, называется однородной дефор­мацией.

Малая деформация элементарного объема всегда считается од­нородной. Но и в конечном объеме можно считать деформацию однородной, например, при равномерном растяжении, а также в ряде случаев в порядке упрощающей предпосылки при решении практических задач.

Однородная деформация характеризуется рядом достаточно очевидных особенностей. Плоскости и прямые линии остаются плоскостями и прямыми после деформации. Параллельные пря­мые и параллельные плоскости остаются параллельными после деформации. Сфера, мысленно выделенная внутри тела, превра­щается в эллипсоид. Два геометрически подобных и подобно рас­положенных элемента тела и после искажения при однородной деформации остаются геометрически подобными [104].

Глава 5

УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ

И ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ АНАЛИЗА

ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

5.1. Условие пластичности

Упругое равновесие тела возможно при различных соотноше­ниях и величинах нагрузок. Пластическое же равновесие воз­можно только при вполне определенных нагрузках. Так, можно считать, что при линейном растяжении признаки пластической деформации появятся тогда, когда нагрузка вызовет напряжение, равное пределу текучести.

Если по мере увеличения деформации происходит упрочнение материала, то для дальнейшего развития пластической деформа­ции необходимо увеличивать напряжение. Величина его опреде­ляется кривой упрочнения (кривой истинных напряжений). Если упрочнение отсутствует, то при линейном растяжении пластиче­ская деформация происходит при постоянном напряжении.

Тело, материал которого является несжимаемым и неупроч-няющимся, называется идеально пластичным. Для идеально пла­стичного тела диаграмма деформация—истинное напряжение при растяжении примет вид, показанный на рис. 5.1. Диаграмма показывает, что для идеально пластичного тела в зоне пластиче­ской деформации задачи, решаемые в теории упругости, в общем случае не имеют смысла [33]. Так, например, по заданному на­пряжению а нельзя найти величину деформации (она может быть любой), а при произвольно заданной внешней силе невозможно пластическое равновесие, так как величина силы должна быть определенной, например, для деформирования растяжением — такой, которая вызывала бы напряжение о_ь (рис. 5.1).

Из предыдущего явствует, что при линейном растяжении усло­вием для перехода от упругого к пластическому состоянию явля­ется равенство а_х = o_s. Вместе с тем существенная разница между упругой и пластической деформацией состоит в том, что величина упругой деформации полностью определяется действующими на­пряжениями, а знание мгновенного распределения напряжений в какой-то момент пластического деформирования позволяет судить лишь о том, каковы будут приращения деформаций.

Однако необходимо знать, какими условиями определяется переход в пластическое состояние и дальнейшее поддержание его при любом виде напряженного состояния. Эти условия можно выявить только на основании экспериментальных исследований. 122

Вместе с тем можно уверенно предпо­ложить, что переход любой элементар­ной частицы тела в пластическое со­стояние обусловливается каким-то соот­ношением между напряжениями, с од­ной стороны, и его механическими свой­ствами при данных температурно-скоро-стных условиях — с другой.

Существует несколько гипотез, оп­ределяющих условие перехода напря­женного тела (точки) от упругого со­стояния к пластическому, сокращенно «условие пластичности».

Наиболее обоснованным является условие пластичности, вы­двинутое М. Губером (1914 г.) и Р. Мизесом (1913 г.). Это условие можно сформулировать следующим образом.

Любая элементарная частица металлического тела переходит из упругого в пластическое состояние, когда интенсивность напря­жений достигает величины, равной напряжению текучести при линейном пластически напряженном состоянии, соответствую­щему температурно-скоростным условиям деформирования и сте­пени деформации. Короче можно сказать так: при пластическом состоянии интенсивность напряжений постоянно равна напряже­нию текучести

• о₂)² + (ог„ — ст₃)² + (ог₃ ~ о_х)² = 0_S,

(5.1)

Кроме того, следует учитывать, что под напряжением теку­чести o_s в уравнении (5.1) следует подразумевать не условное, а истинное напряжение при линейном пластически напряженном состоянии.

В условиях холодного деформирования пластическая дефор­мация начинается при o_t — с₀,₂ (если считать предел текучести о_0|2 за истинное напряжение). В дальнейшем при увеличении сте­пени деформации напряжение текучести o_s вследствие упрочнения увеличится, а следовательно, возрастет и необходимая величина a_t для поддержания пластического состояния.

В случае горячей деформации с полной рекристаллизацией (с полным разупрочнением) вместо o_s можно взять значение пре­дела прочности а_в из испытаний на растяжение при соответствую­щей температуре, так как значения o_s и с_в при высоких температу­рах разнятся не столь значительно.

Для определения o_s можно использовать также результаты испытаний высоких (с отношением высоты к диаметру, большим единицы) образцов на сжатие в условиях, близких к линейному напряженному состоянию (хорошая смазка, специальные бойки). Однако во всех случаях надо учитывать необходимость внесения поправок для учета разницы в скоростях деформации при испыта­нии и осуществлении реального процесса деформирования.

Из сравнения выражений, определяющих октаэдрическое ка­сательное напряжение по уравнению (3.30) и интенсивность каса­тельных напряжений по уравнению (З.ЗОг), с выражением (5.1) следует, что условие пластичности можно написать также и в сле­дующих формах:

^V* - ■ (5.2)

(5.2а)

т. е. при пластическом состоянии и октаэдрическое касательное напряжение т₀, и интенсивность касательных напряжений т,, так же как о,-, имеют вполне определенную величину.

Правую часть выражения (5.2а) обычно обозначают одной буквой k, откуда

т, = k,

где

k = —¹— о, 0,575сг. ]/?>

Величину /г часто называют постоянной пластич­ности. С ней мы встретимся неоднократно в дальнейшем. Возводя уравнение (5.1) в квадрат, получим

(Oi ~ о*)² + («2 - о./ + (а, - а,)² = 2о1, (5.3)

а заменяя разности главных нормальных напряжений главными касательными напряжениями, получим

т?₂ + ^ти + Тз1 = ~ <з\. (5.4)

Отсюда следуют две другие формулировки условия пластич­ности.

1. При пластической деформации сумма квадратов разностей главных нормальных напряжений есть величина определенная, равная удвоенному квадрату напряжения текучести.

2. При пластической деформации сумма квадратов главных касательных напряжений есть величина определенная, равная половине квадрата напряжения текучести.

Выражение рассматриваемого условия пластичности в форме (5.3) является наиболее употребительным.

Сравнивая это выражение с выражением (3.32а) второго инва­рианта девиатора напряжений, легко заключить, что условие пластичности инвариантно к преобразованию координат, а пере­ход в пластическое состояние зависит только от девиатора напря­жений и не зависит от шарового тензора, т. е. от всестороннего равномерного растяжения или сжатия (гидростатического да­вления).

Пользуясь выражением (3.32а), можно написать условие пла­стичности (5.3) в произвольных осях координат, а не в главных:

К - o_yf + (а, - о_гУ + (а, - o_xf +

+ 6 (х1_и + т*_г + tL) = 2а², (5.5)