4.2. Неразрывность деформаций

Компоненты деформации в уравнениях (4.2) определяются тремя компонентами перемещений и_х, и_у, и₂. Следовательно, они не могут быть произвольными, а между ними должны существо­вать определенные зависимости. Эти зависимости носят название условий (уравнений) совместности или неразрывности деформа­ций. Зависимости существуют как между компонентами дефор­маций в одной плоскости, так и между компонентами в разных плоскостях.

Выведем условия совместности для плоской задачи. При плоском напряженном и плоском деформированном состояниях все деформации не зависят от координаты у, перемещение и_у не зависит от координат х и г и в плоскостях, нормальных к оси у, сдвиги отсутствуют. Учитывая сказанное, из выражений (4.2) получим

(и₇

ъ₇ •

^Л дх ' ^г dz

₌ ди_х . Ви₂ J (4-М

^Ухг dz "i" дх ' '

Продифференцируем первое из равенств (4.15) дважды по г, а второе дважды по х:

дЧ._х d^:iu_x . д²г_г _ д^яи_г

dz² dx dz² ' дх² дг дх²

Сложим почленно и несколько преобразуем

д^гг_х , d²e_z д^ъи_х . д³и₂ д² / ди_х , ди₂ \

■ -г ■

дг^{2 г} дх² дх dz^{2 1} дг дх² дхдг \ дг ~ дх )'

Замечая, что выражение в правой части в скобках представ­ляет собой относительный сдвиг у_Х2, получим

д²е* , о²е_г _ д²у_Х2 . _fi

dz² "Т" дх² ~ дхдг • ^^1и'

Выражение (4.16) и является условием совместности. Легко видеть, что при двух заданных деформациях третья получит вполне определенное и единственное значение.

Для осесимметричного напряженно-деформированного состоя­ния условием совместности линейных деформаций е_р и е₀ является

дщ_ ^ ^ер-^е« _{(4 17}ч

д{> 9 ^К ' '

4.3. Скорости перемещений и скорости деформаций

В процессе деформации материальные точки деформируемого тела находятся в движении таким образом, что расстояние между ними изменяется, что обусловливает появление деформации. Чем

быстрее изменяется расстояние между точками тела, тем больше скорость деформации.

Скорости перемещений точек обозначим буквой и с точкой сверху, т. е. и, с обычными индексами направлений и адресов. Скорости перемещений, как и сами перемещения, являются непрерывными функциями координат и времени. Так, напри­мер, линейные скорости перемещений определяются уравне­ниями

"г = Ф, (х, У, г, 0; и_и = % (х, у, г, /); и_г = ф_г (х, у, z, t).

(4.18)

Если деформации малые, а их мы и рассматривали в пре­дыдущих параграфах этой главы, то компоненты скоростей пере­мещений можно выразить частными производными по времени t от соответствующих компонент перемещений

dt

dt

ди₂

(4.19)

Если рассматривать две точки, весьма близкие одна к другой, то скорости деформации по какому-либо направлению можно опре­делить как предел отношения разностей скоростей указанных точек к расстоянию между ними, если величины последнего стре­мятся к нулю. Скорости деформаций обозначим теми же буквами, что и деформации, но с точкой сверху.

Тогда, например,

du_x , du_u

dx

ду

дх

~ dt \ дх )

дх dt

или, учитывая уравнения (4.19) и (4.2), получим ди_х д l du \ дг_х

~ьт'-

ду_х

ди_у dx dt

д_

dt

Уху =

dt

ди_х

I % ¹ дх J

dydt ¹ Oxdt dt \ dy

Аналогично можно определить все остальные компоненты скорости деформации:

(а) (б)

(в)

dt dt dt

скорости относительных удлинений

ди_х де_х ,

(4.20)

дх

ди_у ду

ди_г dz

скорости относительных сдвигов

Уч, =	ду		диу дх	духу . ~~ dt '	(г)
Ую =	диу dz		диг ду	дУиг . dt '	(д)
ъх =	диг дх	+	д'их dz	дУгх dt •	(е)

(4.20)

Таким образом, компоненты скорости деформации равны про­изводным скоростей перемещений по соответствующей координате, а также производным компонент деформации по времени.

Компоненты скорости деформации, так же как и компоненты деформации, образуют тензор компонент деформации

Т- =

2 1

1 2~

чух

ъх

Хху

Ухг Ууг

(4.21)

При пластической деформации объем тела не изменяется и тензор скоростей деформации является девиатором, а следова­тельно,

ё_х + ^ + ё. = 0. (4.22)

Для скоростей деформации, так же как и для деформаций, можно определить главные оси скоростей деформации, в напра­влении которых наблюдаются главные скорости линейных дефор­маций (относительных удлинений), а скорости сдвигов отсут­ствуют.

По формулам, аналогичным соответствующим формулам тео­рии деформации, можно найти главные скорости сдвига у₁₂, 7гз ^и 7зг. скорость октаэдрического сдвига у₀, интенсивность ско­рости сдвига y_t и интенсивность скоростей деформации е,-.

Для скоростей деформации можно построить диаграммы ско­ростей деформации Мора (круги).

В заключение укажем на невстречающееся до сих пор поня­тие линии тока. Последние представляют собой кривые, касательные к которым в каждой точке параллельны вектору ско­рости перемещения материальной точки, совпадающей с данной точкой. Для стационарного движения линии тока совпадают с тра­екториями движения. 120