3,8. Октаэдр и чес кие напряжения

Определим напряжения в площадках, одинаково наклонен­ных к главным осям. В этом случае

а\ -4- а\ 4- а\ = За² = 1,

откуда

= 7Г

(3.27)

Таких площадок четыре. С четырьмя им параллельными они образуют фигуру октаэдра. Поэтому их называют октаэдриче-скими, и так же называют напряжения, которые действуют в этих площадках (рис. 3.5).

Нормальное октаэдрическое напряжение

°о = — (о_х 4- °а + о₃) = — (о_х 4- о_& 4- о_г) = о,

(3.28)

Нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему нор­мальному напряжению или одной трети первого инварианта тензора напряжений.

Касательное октаэдрическое напряжение определится из вы­ражения (3.11):

То = -g- (о² + а\ + оз) ^- (от + о₂ + о₃)²

или после раскрытия скобок

То = -4- (°1 + 02 + 0²₃ — ОЮ2 — о₂о₃ — O3O1), (3.29)

откуда

± -ч" К(Ох - о₂)² + (о_а - о,)* + (о₈ - _0l)²

(3.30)

2

Таким образом, касательное ок­таэдрическое напряжение равно одной трети корня квадратного из суммы квадратов разностей главных нор­мальных напряжений или двум тре­тям корня квадратного из суммы квадратов главных касательных на­пряжений.

Возьмем квадрат первого инварианта (3.15) тензора напря­жений, выраженного в главных нормальных напряжениях:

i\ = (от + о₂ + о₃)² = о\ + о\ + о² + 2сю₂ + 2а₂о₃ + 2o₃oi (3.31)

и второй инвариант (3.16), выраженный также в главных напря­жениях:

U = ^aiOa + о₂а₈ + o_ao_v (3.32)

Сравнивая уравнения (3.31) и (3.32) с уравнением (3.29), видим, что

_т2 = -|-01- Зг₂), (3.29а)

откуда получаем возможность определить октаэдрическое каса­тельное напряжение через компоненты напряжений, действующих по случайным (не главным) ортогональным площадкам, исполь­зуя выражения для первого и второго инвариантов тензора напря­жений (3.15) и (3.16):

t=±l(o_{x +} o_{y +} o_z?-3(o_xOy + Oy0_{2 +}

4" OzO_x ~ Т-ху tyz T₂j;) ].

После преобразования получим

То = =fc -J- |Л°* — dyf-l- (о_у — O_zf 4- (О_г — O_xf +

+ 6 (т1_у + т²_г + %\х). (3.306)

Определим, используя выражение (3.16), второй инвариант девиатора напряжений (3.24):

к = К — о_ср) (Оу — о_ср) 4- (Оу - о_ср) (о_г — а_ср) 4-

4" (°г °ср) (®х — °ср) Т-ху 1уг 1_гх>

или, учитывая (3.23),

h = — 4" [(о* — ст_?у)² + (О/, — о_г)² 4- (о_г — а_А)² 4-4- 6 {%\_у + х²_г 4- xL) ] —

^{= - 4" - ст2)2 + (ст2 - ст}₃^{)2 4- (оз - О!)2]. (3.32а)}

Отсюда видно, что квадрат октаэдр ического касательного напряжения равен двум третям второго инварианта девиатора напряжений, взятого с обратным знаком:

т'о - - -§- h (3.296) или

т₀~ - Y-JLl₂. (З.ЗОв)

Октаэдрическое касательное напряжение близко по величине к наибольшему касательному напряжению для той же точки и находится в пределах 0,941 > т₀/т_та„ > 0,816.

Касательное напряжение, выражаемое уравнениями (3.30), принимая интерпретацию М. Роша и А. Эйхингера, называют также интенсивностью касательных напря­жений [33]. Другие авторы интенсивность касательных напряжений т₍, согласно Г. Генки, определяют выражением [91 ]

= _)=- »i - о₂)² + (а₂ - а₃)² -J- (о₃ - Oj)², (З.ЗОг)

отличающимся от уравнения (3.30) постоянным коэффициентом. Квадрат правой части этого выражения в точности равен второму инварианту девиатора напряжений, взятому с обратным знаком. В отличие от октаэдрического касательного напряжения по равенству (3.30) интенсивность касательных напряжений по урав­нению (З.ЗОг) является величиной скалярной.

Величина интенсивности касательных напряжений т_{ изме­няется в зависимости от вида напряженного состояния (соотно­шений между компонентами тензора напряжений) в пределах

т,- = (1 — 1,155) т_гаах,

где т_гаах — максимальное по абсолютной величине главное каса­тельное напряжение.

От интенсивности касательных напряжений следует отличать интенсивность напряжений или обобщен­ное напряжение о*, которое в главных напряжениях выражается

о, = ~- У(о, - о₂)² + (о₈ - о₃)² + (а₃ - о_х)². (3.33)

Величина a_t так же, как и т,- по формуле (З.ЗОг), представ­ляет собой величину скалярную.

Величина интенсивности напряжений а₍ в зависимости от вида напряженного состояния изменяется в пределах

°' ⁼ (¹ ТТ55 ) <^ст™^х ~"

где о_гаах и a_mln — соответственно алгебраически максимальное и минимальное главное нормальное напряжение.

* Применяют также термин «эффективное напряжение».

Легко определить, что для линейного напряженного состоя­ния (линейного растяжения или сжатия), когда два из трех глав­пых напряжений равны нулю, интенсивность напряжений по величине совпадает с главным нормальным напряжением, растя­гивающим или сжимающим.

На основании ранее сказанного о напряженном состоянии точки можно отметить следующие характерные площадки, про­ходящие через нее:

а) три главные площадки, на которые действуют главные нормальные напряжения, а касательные отсутствуют;

б) шесть площадок, по которым действуют главные каса- тельные напряжения;

в) четыре площадки действия одинаковых по величине окта- эдрических напряжений.

Таким образом, всего есть 13 характерных площадок.