3.3. Напряжения в наклонной площадке

Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимно пер­пендикулярных площадках, проходящих через данную точку, то ее напряженное состояние вполне определено. Проведем пло­скость наклонно к осям координат (рис. 3.2). В результате полу­чим фигуру тетраэдра Oabc, сливающегося с точкой О при бес­конечном убывании величины его граней. Пусть N — нормаль к наклонной грани тетраэдра. Положение ее определится направ­ляющими косинусами

cos а_х = cos (N, х) — а_х\

cos а_у = cos (N, у) — а_у;

cos а_г — cos (N, z) = а₂.

Пусть площадь наклонной грани будет AF, а площади осталь­ных граней, т. е. треугольников ОВС, О АС и ОАВ, соответственно AF_X, AF_y и AF_Z. Считаем, что на наклонную грань действует какое-то напряжение S (полное). Напряжения по координатным площадкам также даны. Проекции напряжения S на направления осей координат, или, что то же, компоненты напряжения S по осям координат, обозначаем S_x, S_y и S₂.

Тетраэдр должен находиться в равновесии. Пишем условия равновесия, проецируя все действующие по его граням силы на оси координат:

Ипрх^ S_XAF —

a_xAF_x t₂* Af⁷*

%_xu AF_y — x_Xi AF, = 0; t*» AFy- e_zAF_? = 0;

Ho

X

Суммируя компоненты напряжения S по правилу параллелепипеда, легко получить и само полное напряжение S:

S² = S², + S², + S'i(3.4)

Нормальное напряжение в наклонной площадке а_н опреде­лится как сумма проекций компонент S_x, S_u, S₂ на нормаль к площадке:

о_н = ^SA + SyCty + S_za_z, (3.5)

а подставляя значения из уравнения (3.3), получим

2 2 2

а _и = OjOj -4- в yd,, + а_га₂ -f

+ 2т_еда^а₉ + 2%_уга_уа_г + 2т_гл.а_га_х. (3. 5а)

Полное касательное напряжение в наклонной площадке т найдем по правилу параллелограмма:

и² = S² - о£. (3.6)

По полученным формулам можно определить напряжение в любой наклонной площадке. Таким образом, если даны шесть напряжений, действующих в точке по трем взаимно перпенди­кулярным площадкам, то ее напряженное состояние вполне определено.

3.4. Главные нормальные напряжения

Исследуем полученное выражение (3.5а) для а_н. Отложим от начала координат по направлению нормали N (рио. 3.2) к ка­кой-нибудь наклонной площадке некоторый вектор г, величина которого определяется выражением А

г =

V\Он i

т. е. примем о"„ = ± —,

где А — некоторая произвольная постоянная, определяющая масштаб.

Координаты конца вектора запишутся х = га_х; у = га_у; г = га_г,

а следовательно,

_ х у . г

Подставляя эти значения а в уравнение (3.5а) и сокращая па г, получим

Л² = а_хх* + а у + а₂2² + 2%_хуху + 2%_yzyz + 2x_M2x. (3.7)

Из аналитической геометрии известно, что полученное урав­нение представляет собой поверхность второго порядка, отнесен­ную центру (отсутствуют х, у, г в первой степени).

С изменением положения наклонной площадки изменятся на- правление и координаты х, у, z конца вектора г, но конец его всегда будет лежать на поверхности, определяемой уравне- нием (3.7). Отсюда следует, что эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки. Она носит название^ поверхности напряжений Коши. ?

При изменении положения координатных осей, т. е. при отне­сении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность останется неизменной, а изменятся лишь коэффи­циенты уравнения, т. е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими.

Из аналитической геометрии известно, что если поверхность второго порядка отнести не только к центру, но и к сопряженным диаметрам, т. е. к осям, то коэффициенты при произведениях координат обратятся в нуль. Так же можно поступить и с поверх­ностью, определяемой уравнением (3.7). А это значит, что через точку, находящуюся в напряженном состоянии, всегда можно провести такие три взаимно перпендикулярные плоскости, в кото­рых касательных напряжений не будет и останутся только три нормальных напряжения. Эти три напряжения называют глав­ными нормальными напряжениями, их направ­ления — главными и плоскости, на которых они действуют, — главными плоскостями. Таким образом, если оси координат выбраны параллельно главным направлениям (главные оси), то в соответствующих координатных плоскостях (главных) дей­ствуют только нормальные напряжения — главные.

Отсюда следует, что напряженное состояние точки вполне определяется, если даны направления трех главных осей и вели­чины трех главных нормальных напряжений, которые обозна­чим индексами 1, 2, 3 вместо индексов х, у, z: а_г, а₂, а₃.

Такими же индексами 1, 2, 3 будем в дальнейшем отмечать и главные оси, а также направляющие косинусы площадок, наклонных к этим осям, и соответствующие углы а.

Если напряженное состояние точки задано главными напря­жениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) весьма просто. Ком­поненты по осям координат

Sj = а±а_г\ S₂ = о₂а₂\ S₃ = a_sa_s. (3.8)

Полное напряжение

о2 2 2, 2 2, 2 2

i = OiQi -j- 02(22 + o3ci3.

(3.9)

Нормальное напряжение о_н = aiai + а_га\ -f- а_ъа\.

(3.10)

Касательное напряжение

т² = о\а\ -f o\al -j- alai — (aia\ + + о₃аз)².

(3.11)