4) Нейтральный и поглощающий элементы (левый, правый).

Нейтральный элемент e из множества M относительно БАО, если для любого элемента a из M вып. равенство e*a=a или a*e=a. Прим: 2+0=0+2=2 (для сложения в Z – 0), 2∙1=1∙2=2 (для умножения в Z – 1), 2-0=2 (правый нейтральный элемент для вычитания).

Поглощающий элемент e из множ. M относительно БАО, если для любого элемента a из M вып. равенство e*a=е или a*e=е. Прим:2∙0=0∙2=0 (для сложения в Z – 0), 0:2=0 (левый поглощающий элемент для вычитания).

5) Дистрибутивность (левый, правый). БАО ◦ дистрибутивно относительно БАО, если для любых элементов а, b и c из M вып. равенства (a*b)◦c=(a◦c)*(b◦c), c◦(a*b)=(c◦a)*(c◦b). Примеры. (1+3)∙6=(1∙6)+(3∙6), 6∙(1+3)=(6∙1)+(6∙3).

6) Закон поглощения. Если для любых а и b из M выполняется равенство (a*b)◦a=a◦(a*b)=a,

Прим:(АvВ)ʌA=Aʌ(АvВ)=A (на множестве высказываний).

Понятие о частичных бао и уао. Примеры.

1) УАО –если любому эл. из мн. М соотв. элемент в этом же множ.,то говорят, что на M задана унарная алгебраическая операция *.

Р: нахождение противопол. числа: -5 и 5, 0 и 0.

2) БАО – если любым 2-м элементам из множ. М а и в ,порядок которых важен, сопоставл.вполне определенный элемент из этого же мн. М, то говорят, что на M задана бинарная алгебраическая операция .

Р: 6+6=12. 1 образ в мн. М: М М →М.

Иногда элемент а *в не определен (не сущ.), то принято говорить о частничных БАО и УАО

(*-это действие «-«:» и т.д)

Пр.: БАО 1) вычитание на N₀ : (5,2→3), (7,8→Ø),

(0,1=? ничего не сопоставить).

2) деление на N_0: (6:2=3), но (7:2=?), (1:0=?)

Пр.: УАО: 1)нахождение обратного числа R:

( 1\√2) (а\0 –х). 2) на мн.N (только 1).

Понятие бинарной алгебраической операции (бао).

Под БАО по­нимается любое соответствие, которое двум каким-то объек­там множества сопоставляет третий объект того же множе­ства по определенному правилу. Слово «бинарная» означает, что соответствие устанавли­вается между парой объектов, а не тройкой, четверкой и т.д.

Бинарные операции: объединения, пере­сечения, разности множеств. Декартово произведение мно­жеств также можно рассматривать как бинарную алгебра­ическую операцию, которая любым двум множествам ста­вит в соответствие третье множество, называемое их декар­товым (прямым) произведением.

Алгебраич операции могут обладать или не обла­д разл св-вами - такими, как коммутатив­ность (перестановочность), ассоциативность (сочетатель­ность), дистрибутивность и т .д.

Коммутативность алгебраической операции, обозначим ее *, означает, что для любых двух объектов а и Ь результат а*Ь совпадает с результатом Ь*а. Н-р, операция ум­ножения натур чисел коммутативна, а операция вы­читания - не коммутативна, так как а-Ь  Ь-а.

Для того чтобы проверить, явл-ся ли какая-то операция не коммутативной на некотором множе­стве, достаточно найти хотя бы одну пару элементов этого множества (а, Ь), такую, что a*b Ь*а.

Ассоциативными являются, например, операции сло­жения, умножения, объединения, пересечения.

Высказывания и высказывательные формы. Смысл логических связок «и», «или» в составных высказываниях. Высказывания с кванторами.

Высказыванием называется такое предположение, относительно которого имеет смысл задать вопрос, истинно оно или ложно.

Высказывательная форма – предположение, содержащее одно или несколько переменных, которое обращается высказыванием при подстановке в него вместо переменного или переменных конкретных значений. Это предложение, относительно которого не имеет смысл задавать вопрос истинно оно или ложно.

Операции над высказываниями. Cв-ва. Тоджеств. преобраз.

Конъюнкцией высказываний А u В называет­ся высказывание А Λ В, которое истинно, когда оба выска­зыванuя истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Дизъюнкцией высказываний А и В называет­ся высказывание А v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. КОНЪЮНКЦИЯ

А	В	АΛВ
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

«Число 28 делится на 7 и на 9» конъюнкция, первое истинно, второе ложно, поэт высказывание ложно (по опр.).

1º АΛ В=В Λ А (коммутативность)

2º (А Λ В) Λ С= А Λ (В Λ С) (ассоц-ть)

3º А Λ А=А

4º А Λ и= А

5º А Λ л= л

6º(А v В) ΛС= (А Λ С) v (В Λ С) дистрибу-

тивность конъюнкции относ-но дизъюнкции

7º(А Λ В) v С= (А v С) Λ (В v С) дистрибу-

тивность дизъюнкции относ-но конъюнкции

8º(А Λ В) v А= А кто больше съел того, кого

9º(А v В) Λ А= А меньше

ДИЗЪЮНКЦИЯ

А	В	Аv В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

«Число 28 делится на 7 или на 9», «15 кратно 3» -истинно.

1º Аv В=В v А (коммутативность)

2º (Аv В) v С= Аv (ВvС) (ассоциативность)

3º Аv А=А

4º Аv и= и

5º Аv л= А

ИМПЛИКАЦИЯ (АВ)

1º АВ= ĀvВ (если А, не А или В)

Если в субботу будет хорошая погода, мы пойдем в парк. В субботу не будет плохой погоды, мы пойдем в парк.

2º АВ= отрицание ВĀ

3º ВĀ=Ā отрицание В (следствие из 2º)

4ºАА = и

Отрицанием высказывания А наз-ся высказывание А, кот. ложно, если высказывание А истинно и истинно, если высказывание А ложно. (Ā)

А	Ā
и	л
л	и

«Число 28 делится на 9» Отрицание: «Число 28 не делится на 9» и «Неверно, что число 28 делится на 9».

Двойное отрицание А=А (инволютивность)

отрицание Аv В  Ā Λ отрицание В

отрицание АΛ В  Āv отрицание В

Операции над высказываниями.