9. Уравнения Максвелла для электро- и магнитостатики

1) Электростатика

А) Дифференциальная форма

-удельная мощность источников поля в любой точке равна локальной плотности сторонних зарядов в этой точке;

- в электростатическом поле нет вихрей.

Б) Интегральная форма

-поток через любую замкнутую поверхность равен

стороннему заряду, заключенному внутри этой

поверхности;

- работа сил электростатического поля по замкнутому контуру

равна нулю или электростатическое поле консервативно.

2) Магнитостатика

-магнитных зарядов не обнаружено,

(однако их присутствие в мире ничему не противоречит);

Это уравнение как отрицающее мало полезно для нахождения магнитного поля от реальных токов. Оно лишь требует замкнутости магнитных линий.

-линии магнитной индукции замкнуты.

- непотенциальное поле, хотя работа магнитных сил равна 0.

Вопр.Почему?

Отв.Так как магнитная сила является гироскопической, то есть, и её мощность.

Вопр. Может быть, из этого следует, чтоэто и будет вторым уравнением магнитостатики?

Но тогда в совокупности уравнения , так как точечных источников нет и вихрей нетничего нет. Где же мы промахнулись?

Отв.Для магнитного поля- работе, так как в магнитном поле потенциал - векторная функция,;.

Магнитных зарядов на самом деле не обнаружено, но .

Вопр. Чему же он равен?

Отв. Для прямого тока:это верно для любого тока и для любого охватывающего его замкнутого контура.

Применив принцип суперпозиции, получим:

, где- поля отдельных токов.

, где-алгебраическая сумма токов.

Циркуляция равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, или пересекающих поверхность, ограниченную данным контуром.

Токи являются алгебраическими величинами, и их знак определяется правилом правого винта: , если ток сонаправлен с нормалью, проведенной к поверхности в соответствии с правилом правого винта относительно направления обхода контура.

В нашем примере ,.

По теореме Стокса:

Уравнения магнитостатики в отсутствии магнетиков:

А) Дифференциальная форма

- магнитных зарядов не обнаружено;

- в отсутствии магнетиков вихрь поля в данной точке определяется

плотностью тока в этой точке.

Б) Интегральная форма

-линии поля замкнуты;

- циркуляция оп любому контуру равна алгебраической сумме токов,

охватываемых этим контуром.

Эти уравнения магнитостатики верны всегда в отсутствии магнетиков, но интегральная форма, облегчающая решение задач, может быть использована только при наличии симметрии задачи и очевидности ориентации на выбранном контуре.

10. Примеры расчета по теореме Стокса распределения магнитной индукции в пространстве, не содержащем магнетиков

1. Бесконечный цилиндрический проводник с током.

1). Поле прямого тока – мгновенное решение:

2). Цилиндр с током (толстый провод) :

Внутри:

Снаружи: .

Если , то при вычислении поля внутри, справа надо интегрировать:.

3). Рассчитаем распределение магнитной индукции для случая линейного распределения плотности тока по сечению проводника:

4). Пусть толстый цилиндрический проводник несет ток , распределенный по сечению по экспоненциальному закону.

Проинтегрировав плотность тока по площади сечения проводника, определим

.

Затем по теореме Стокса определим поле внутри

проводника

Поле снаружи .

2. Бесконечная пластина с током

- линейная плотность тока, приходящаяся на единицу длины пластины.

- плотность тока.

- индукция внутри пластины.

- индукция в пространстве вне пластины.

3. Существует круг задач, в которых надо, зная , требуется определить:

1. Необходимо проверить может ли быть таким, как задано. Для этого надо проверить удовлетворяется ли уравнение.

2. Если удовлетворяется, то из уравнения находят

1) такого полябыть не может.

2) такого полябыть не может.