4. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Каноническая форма квадратичной формы.

Индексы квадратичной формы. Сигнатура. 3.6

Квадратичной формой называют выражение

Для n=3

Матрицей квадратичной формы называют матрицу, по главной диагонали которой стоят коэффициенты при квадратах переменных, а на пересечении i-ой строки и j-uj столбца стоят половины коэффициентов при произведении XiXj.

Квадратная форма L называется положительно-определенной, если L>0 при всех значениях x, не все из которых равны нулю. Аналогично определяется и отрицательно-определенная квадратичная форма.

Критерий Сильвестра:

1. Для того, чтобы квадратная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры были положительны.

2. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно-определенной необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались +-+-+-+-…

Квадратичная форма называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, а есть только квадраты)

Число отличных от нуля коэффициентов квадратичной формы совпадает с рангом матрицы квадратичной формы (только в каноническом виде)

Свойства канонической квадратичной формы:

1. Число положительных и число отрицательных коэффициентов квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции).

2. Число положительных квадратов в канонической квадратичной форме называется положительным индексом, отрицательных квадратов – отрицательным индексом. Разность между индексами называется сигнатурой.