4. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Эллипс и его параметры. 3.4

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 – общее уравнение кривой второго порядка

Эллипс это множество точек (x y), которые в некоторой специально подобранной системе координат имеют следующее каноническое уравнение

1. а и в – полуоси эллипса.

2. Вершины: А1(-а,0) А2(а,0) В1(0,-в) В2 (0,в)

3. . Тогда F1(-c.0) и F2(c.0) – фокусы эллипса

4. F1M и F2M – факальные радиусы

5. Е=с/а – эксцентриситет. Чем ближе Е к 1, тем более эллипс вытянут вдоль Х

6. Основное свойство эллипса: Какую бы точку М ни взять на эллипсе, всегда выполняется F1M+F2M=2a

7. Площадь эллипса равна ab

Если а<b то меняем местами оси координат.

4. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Гипербола и ее параметры. 3.4

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 – общее уравнение кривой второго порядка

Гипербола- кривая, в которая в специально подобранной системе координат имеет уравнение

• a-действительная полуось, в – мнимая полуось

• F1(-c 0) и F2 (с 0) -фокусы

• E=c/a – эксцентриситет

• уравнение асимптот гиперболы

• 

• 

• Основное свойство

4. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Парабола и ее параметры. 3.4

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 – общее уравнение кривой второго порядка

Парабола – множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению y²=2Px где p>0

Указанная на рисунке прямая – директриса. F-фокус параболы, равен p/2

MM’=MF

4. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Решение задач а) и б). 3.5

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 – общее уравнение кривой второго порядка

Поставим следующие задачи:

1. По уравнению кривой распознать ее тип (эллипс/гипербола/парабола/НЁХ)

2. Так подобрать новую систему координат (перенести начало, повернуть), чтобы уравнение кривой стало каноническим и можно было ее построить.

Решение задачи А:

Чтоб распознать тип кривой таблицей воспользуйся ты:

	Эллипс	Точка
	Гипербола	Пара пересечения прямых
	Парабола	Пара параллельных прямых или совпадающих прямых или пустое множество

Решение задачи Б:

Формулы поворота:

Точка O’ имеет координаты (α,β), тогда

Формулы переноса:

Итак, непосредственно решение:

1. В=0, то есть отсутствует слагаемое с произведением координат. В этом случае выполняется только параллельный перенос системы координат. Для этого формулы переноса подставляем в исходное уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные. После этого числа α и β выбираются так, чтобы уничтожить члены с первыми степенями. После этого строится новая система координат и выполняются конкретные построения.

2. В исходном уравнении . В этом случае выполняем поворот системы координат на угол α

Найденные sin и cos подставить в формулу поворота и далее в формулу переноса исходного уравнения. После раскрытия скобок и приведения подобных выполняем параллельный перенос по правилам пункта 1.