4. Линейное пространство геометрических векторов. Орт вектора, проекция вектора. Естественный базис. Направляющие косинусы и их основное свойство (вывод). 2.1

Вектор это направленный отрезок. Длина вектора называется его модулем. Сумма векторов определяется так : к концу первого приставить начало второго и соединить их. Произведением вектора а на λ называется новый вектор λа, модуль которого равен |λ|*|а|. Если λ>0- то направление совпадает с а, если меньше – противоположное.

Вектора а и в, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Условие коллинеарности: вектора а можно выразить как в, умноженный на некоторое число. а= λв можно переписать как а- λв=0, значит в данном случае а и в линейно зависимы. Векторы а, в, с лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях называются компланарными. Они будут также линейно зависимы. Вектор е, имеющий модуль=1 и совпадающий по направлению с вектором а называется ортом вектора а. Чтобы найти орт надо воспользоваться формулой е=а/|a| Проекцией вектора а на вектор n называется ЧИСЛО:

Пусть α,β,γ-это углы, образованные вектором а с осями Ox, Oy, Oz. Тогда:

Эти косинусы называются направляющими косинусами вектора а. Их основное свойство: сумма квадратов косинусов равна единице.

Естественным базисом называются e1=(1.0.0) e2=(0.1.0) e3=(0.0.1) и так далее.

4. Переход к новому базису в пространстве v2. Вывод формул поворота. 2.2

Повернем систему координат вокруг точки О на α градусов против часовой стрелки. {i;j}-старый базис.{i’,j’}-новый базис Выразим новый базис через старый. Заметим, что координаты орта это его направляющие косинусы.

Образуем матрицу перехода, по столбцам которой стоят координаты векторов нового базиса:

Пусть {x,y}-столбец координат вектора а в старом базисе, а {x’,y’}-в новом. Выразим координаты вектора в старом базисе через координаты в новом

X=x’cos -y’sin y=x’sin +y’cos

4. Скалярное произведение векторов, следствия (вывод). Выражение скалярного произведения в координатах (вывод). 2.3

Скалярное произведение векторов есть число, равное: (а,в)=|a|*|b|*cos

Следствия:

• 

• (a,а)=(|a|)^2

• Два вектора а и в ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

• (а,в)=(в,а)

Выражение скалярного произведения в координатах

А=x1i+y1j+z1k

B=x2i+y2j+z2k

(a,b)=x1x2+y1y2+z1z2

4. Определение векторного произведения векторов. Следствия. Выражение векторного произведения в координатах. Условие коллинеарности векторов. 2.4

Векторным произведением а и в называется вектор с=[a,b], такой что:

1. |c|=|a|*|a|*sin(a,b) (это площадь параллелограмма построенного на а и в)

2. С перпендикулярен плоскости векторов (а,в)

3. {a,b,c}- правая тройка, если при взгляде сверху вращение от а к в идет против часовой стрелки

Следствия:

1. Векторы а и в коллинеарны (параллельны) тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю

2. При перемене мест векторов в произведении меняется знак результата

3. Постоянный множитель выносится за скобку

Выражение векторного произведения в координатах

А(x1 y1 z1)

B(x2 y2 z2)

C=[a,b]=