4. Нахождение образа линейного оператора. 1.9

Образ линейного оператора есть подпространство. Его размерность (число векторов базиса) называется рангом оператора )совпадает с рангом матрицы).Нахождение образа:

1. Образовать матрицу линейного оператора А и применить к ней преобразование Жордана-Гаусса.

2. Дополнить эти преобразования т.н. элементарными преобразованиями:

   • Перемещение местами строк

   • Умножение строки на число, не равное 0

   • Прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число

В результате получим матрицу, содержащую единичные столбцы. Этим столбцам соостветвуют линейно независимые векторы образа. Если к тому же их максимальное количество, то эти линейно независимые векторы образуют базис образов

3. Найдя базис и пользуясь теоремой о базисе записать любой вектор образа.

4. Ядро линейного оператора, обозначение, способ нахождения. 1.10

Множество векторов x из Rn, которое линейным оператором А переводится в нелувой вектор пространства Rm называется ядром линейного оператора. Обозначается как KerA. Ядро линейного оператора есть линейное подпространство, размерности n-r и называется дефектом оператора.

4. Решение однородных систем линейных уравнений в общем случае. 1.11

Пусть А матрица системы, а вектор столбец {x1, x2, …, xn}=x, тогда вспоминая операцию умножения матриц, систему уравнений можно записать в матричной форме Ах=0 На левую часть выражения можно смотреть как на линейны оператор A:Xn->Ym. Но тогда соотношение означает, что нужно найти ядро оператора А. По теореме находим дефект оператора А и базис ядра, который в данном случае будет называться фундаментальной системой решений системы. Следовательно любое решение системы (то есть любой вектор ядра) имеет вид

4. Переход к новому базису. Формулы (1) и (2). 1.12

Пусть в линейном пространстве R3 выбраны два базиса {e1,e2,e3} и {e’1,e’2,e’3}. Пусть вектор x={x1,x2,x3} в старом базисе и {x’1,x’2,x’3} в новом.

1. В силу теоремы о базисе векторы нового базиса можно выразить через векторы старого e’1=a11*e1+a12*e2+a13*e3 e’2=a21*e1+a22*e2+a23*e3 e’3=a31*e1+a32*e2+a33*e3

2. Образуем матрицу перехода от старого базиса к новому, по столбцам которого стоят координаты векторов нового базиса

3. Можно доказать, что имеет место следующее соотношение: Выражение старых координат через новые

Выражение новых координат через старые

4. Действия над линейными операторами. 1.13

   1. Сумма операторов С=А+В (А+В)х=Ах+Вх При этом матрица С равна сумме матриц А и В

   2. Произведение А на число α С= αА αА(х)=А(αх) Матрица оператора С равна произведению α на матрицу А

   3. Произведение операторов А и В С=А*В АВ(х)=А(Вх) При этом матрица оператора С равна произведению матриц А и В.

5. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен. 1.14

Пусть A:Rn->Rn, сопоставляющий каждому вектору х не равному нулю вектора Ах = λх, тогда вектор х называется собственным вектором оператора А, соответствующий собственному значению λ. Если х-собственный, то и αх-собственный

А(αx)=αAx=αλx=λ(αx)

Найти все собственные векторы, соответствующие собственному значению λ:

1. Формулу Ах = λх перепишем как Ax=λEx -> Ax-λEx=0 -> (A-λE)x=0 ->Bx=0 Получена система линейных однородных уравнений. Оператор В сопоставляет вектору х нулевой вектор. Вектор х – ядро оператора В. Собственный вкетор х отображается оператором В в нулевой вектор. Иначе говоря, множество собственных векторов оператора А является ядром оператора В.

2. Чтобы найти λ следует составить характеристическое уравнение

3. Для каждого из найденных λ найти ядро оператора В. В результате и будет получен набор собственных векторов, соответствующих собственному значению λ