4. Теорема Гамильтона- Кэли. 1.3

Всякая матрица А является корнем своего характеристического многочлена |А-λЕ|=0

4. Ранг матрицы. Нахождение ранга методом Жордана-Гаусса. 1.3

Я долго думал, следует ли вообще описывать метод Жордана-Гауса в письменном виде в билетах. Не знаю как у вас, но у меня он засел в памяти насколько глубоко, что я и на пятом курсе смогу сделать это преобразование. На всякий пожарный укажу алгоритм преобразования.

1. Среди всех элементов 1го столбца выбрать ненулевое (разрешается менять местами строки) Назовем этот элемент разрешающим.

2. Все элементы разрешающего столбца обнулить, кроме самого разрешающего элемента.

3. Разрешающую строку и столбец переписать в новую матрицу. Оставшиеся элементы рассчитать по правилу прямоугольника и тоже записать в новую матрицу

4. В новой матрице отделить разрешающие столбец и строку.

5. Выделенные строки и столбцы переписать в новую матрицу. К оставшимся применить пункт 2-3

6. Пройдя все строки, подсчитать r – количество ненулевых строк. Это и будет РАНГОМ матрицы.

7. Пользуясь теоремой Кронекера-Капелии определить, что:

   • Если r<n, то система уравнений, по которм построена исходная матрица имеет бесконечное количество решений, в том числе и ненулевых. Векторы будут линейно зависимы.

   • Если r=n, то система имеет одно решение, но так как нулевое решение есть всегда, оно и будет единственным. Значит система векторов линейно независима.

4. Запись системы линейных уравнений в общем виде. Матричная запись.

Система линейных уравнений в общем виде записывается так:

Матричная запись:

Ах=В

А-матрица коэффициентов, X – вектор столбец {X1, X2, …, Xm}, В – столбец {B1, B2,…,Bm}

4. Понятие однородной системы. Классификация решений системы. Теорема Крамера. 1.4

Система линейных уравнений называется однородной, если правые части всех уравнений равны нулю.

Решением системы линейных уравнений называется такой набор чисел, который обращает каждое из уравнений в тождество. Если система имеет хотя бы одно решение – она называется совместной, в противном случае – несовместной. Совместная система, имеющая одно решение называется определенной, несколько решений – неопределенной.

Теорема Крамера: Если определитель системы не равен нулю, то система имеет одно решение, которое определяется по следующим формулам:

X1=D1/D X2=D2/D и так далее, где D – определитель матрицы, D1 – определитель матрицы, где первый столбец заменен столбцом правых частей, D2 – определитель матрицы, где второй столбец заменен столбцом правых частей и так далее.

4. Запись системы линейных уравнений в общем виде. Матричная запись. Понятие однородной системы. Классификация решений системы. Метод обратной матрицы. 1.4

См билет 7. Метод обратной матрицы: Рассмотрим формулу Ах=В. Умножим левую и правую часть на А^-1 - х=А^-1*В. Чтобы решить уравнение найдем обратную матрицу А, умножим ее на В и получим искомый Х.

4. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств (не менее трех). Понятие подпространства линейного пространства. Примеры (не менее трех). 1.5

Непустое множество L любой природы называется линейным пространством, если выполняются следующие условия:

• Для любых X и Y, принадлежащих L, определена их сумма x+y, принадлежащая L

• Для любых Х определена α*х, принадлежащая L

• Элементы x y должны быть подчинены аксиомам линейного пространства

• Сами x y называются векторами

Примерами линейных пространств могут служить:

• Множество { α1, α2, α3,…, αn } – арифметическое пространство Rn

• Множество всех векторов на плоскости V2

• Множество всех матриц m*n

Непустое множество L^~ линейного пространства L называется линейным подпространством, если для любых X Y принадлежащих подпространству их сумма принадлежит подпространству и αX тоже принадлежит подпространству. Иначе говоря применение линейных операций к векторам подпространства не выводит их за границы этого подпространства.

Примеры подпространств

• Например рассмотрим пространство Rn (множество строк длины n). Выше было доказано, что это линейное пространство. Рассмотрим только такие строки, где последняя координата равна нулю. Это множество есть подпространство.

• Рассмотрим линейное пространство Нⁿ_m (Матрица m*n). В этом пространстве рассмотрим матрицы, у которых на главной диагонали лежат нули. Это множество и будет подпространством.

• Действительные числа являются подпространством натуральных.

4. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств (не менее трех). Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Понятия базиса, размерности. Разложение вектора по базису. Размерность линейного пространства - обозначение. 1.5

Совокупность векторов линейного пространства L называется линейно зависимой, если существуют такие числа Х1, Х2,…,Хn не все равные нулю, что равенство X1*α1+X2*α2+…+Xn*αn=0

Если же равенство выполняется лишь при всех иксах, равных нулю, то система векторов называется линейно независимой.

Пусть в линейном пространстве Х найдена совокупность линейно независимых векторов (е1,у2,…,е_n)таких, что любой вектор х линейного пространства Х через них линейно выражается . Тогда указанная совокупность векторов называется базисом линейного пространства, число n – размерностью линейного пространства, а само линейное пространство – n-мерным. Обозначение: dimX=n, X_n

Пусть е1, е2, …, е_n образуют базис в n-мерном пространстве. Согласно теореме о базисе любой вектор можно разложить через базис . Эту формулу называют разложением по базису, а коэффициенты x1, x2,…xn – координатами вектора а в данном базисе.