17. Применение функции комплексного переменного для расчета плоскопараллельных полей.

Магнитный потенциал и функция потока в области незанятой токами, связаны между собой соотношениями ; (см. здесь), совпадающими с уравнениями Коши-Римана , которым должны удовлетворять функции и , определяющие вещественную и мнимую части аналитической функции комплексного переменного . Поэтому для описания плоскопараллельных магнитных полей вне токов, так же как и при описании плоскопараллельных электростатических полей, можем воспользоваться аналитическими функциями комплексного переменного, положив и , т.е. принимая

.

Составляющие вектора могут быть получены из уравнений:

;

Модуль вектора равен

18. Расчет электрических емкостей.

Электрическая емкость определяется наличием заряда или потенциала. В случае любого количества тел, потенциал каждого зависит как от собственного заряда, так и от заряда других тел.

,

Здесь - потенциал первого тела, обусловленный зарядами первого тела

- потенциал первого тела, обусловленный зарядами второго тела.

Или матрицами:

- потенциальные коэффициенты.

- матричная форма записи.

тогда

- коэффициент электростатической индукции. Коэффициент проще определять экспериментально.

19. Электрическое и магнитное поле постоянных токов. Расчет с помощью скалярного потенциала.

; ;

; ; ; ;

.

Электрическое поле остается безвихревым => может быть описано скалярной величиной => .

Электрическое поле присутствует как вне, так и внутри проводника. Вне проводника, т.е. в области где .

; ;

=> Это поле описывается уравнением Лапласа:

Различия в граничных условиях на поверхности раздела проводник-диэлектрик

На практике

Электрическое поле вектора в проводящей среде

; ;

Поле плотности тока в проводнике идентично электрическому полю.

Для проводящей среды

=> I Закон Кирхгофа.

; => II Закон Кирхгофа.

20. Магнитное поле постоянного тока. Расчет на основе векторного потенциала.

, , . Данное поле вихревое и в общем случае применение скалярного потенциала невозможно, но в облостях незанятых током можно написать .

В этом случае можно ввести понятие скалярного магнитного потенциала

;

В отличии от потенциала электрического поля, магнитный потенциал определяется неоднозначно даже в областях незанятых током.

;

Определяется неоднозначно. При практических расчетах встречаются случаи, когда при определении магнитного потенциала трудно выбрать пути интегрирования (в данном случае: m, n, и k), чтобы этот потенциал определить однозначно. Поэтому более универсальный способ расчета магнитного поля осуществляется с помощью векторного магнитного потенциала.

Векторный магнитный потенциал определяется так, чтобы выполнялось равенство: , здесь А(x,y,z) – векторный магнитный потенциал.

При определении А существует единственное требование: недолжны нарушаться основные уравнения поля, а именно: , , . Или при условии линейной среды: , ,

Таким образом

В основных уравнения нет ограничений на , => ее можно выбрать произвольно .

- статическое поле.

Для статического поля в неограниченном пространстве решение уравнения Пуассона было: => по аналогии

.

Такие же решения будут для других составляющих.

Отсюда .

Получим выражение А для тонкого провода.

С помощью векторного потенциала, магнитное поле может быть определено в любой части пространства, где и .