Уравнение Лапласа, Пуассона. Граничные условия. Плоскопараллельное поле. Функции потенциала и потока.
Уравнение Пуассона, Лапласа
или
,
,
- Уравнение Пуассона.
Решение уравнения Пуассона дает функцию
для заданного распределения заряда.
При отсутствии распределении зарядов
в пространстве записывают
- это есть уравнение Лапласа.
Электростатическое поле описывается уравнением Лапласа.
это есть решение уравнения Пуассона в случае неограниченной однородной среды.
Граничные условия
На поверхности раздела проводник – диэлектрик.
,
=>
В статическом поле поверхность проводника
будет эквипотенциальной, т.е.
Заряд располагается на поверхности
;
На поверхности раздела двух диэлектриков.
При переходе из одной среды в другую
вектора
и
будут преломляться.
Расстояние аб и вг много больше бв и аг.
(или
)
,
т.к. (а-б)=(в-г)
Касательные составляющие вектора на поверхности раздела равны.
(или
),
т.к. на поверхности раздела нет зарядов.
Интеграл на боковой поверхности бв и аг много меньше чем через аб и вг.
,
т.к. S1
=S2
На поверхности раздела двух проводящих сред
Для электростатического поля было
,
.
В данном случае
,
,
т.к. уравнения идентичны, граничные
условия можно получить простой
перестановкой, т.е. получим
и
,
.
Чем лучше изоляция тем угол преломления ближе к 900.
На поверхности раздела с разными магн. проницаемостями
(Было , , , , )
В данном случае
,
,
По аналогии:
, 
, 
Плоскопараллельное поле (Электростатическое)
Задача расчета весьма упрощается, если все величины, характеризующие поле, зависят только от двух координат. Такому условию удовлетворяет поле системы: из нескольких бесконечно длинных параллельных друг другу цилиндрических проводов с зарядами, равномерно распределенными по их длине. Диэлектрик будем предполагать однородным. Направим ось 0z параллельно осям проводов. Тогда все линии напряженности поля будут лежать в плоскостях, параллельных плоскости ХОY. Картина поля во всех этих плоскостях одинакова, и достаточно исследовать поле только в плоскости хОу. Поле такого вида будем называть плоскопараллельным полем. На рис. изображены поперечные сечения двух проводов и картина поля около них. Потенциал плоскопараллельного поля есть функция только двух координат: х и у. Поверхности равного потенциала суть цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси 0z. Линии равного потенциала в плоскости х0у определяются уравнениями вида
Условимся наносить на чертеже линии
равного потенциала через такие промежутки,
чтобы при переходе от любой линии к
соседней всегда получать одинаковое
приращение
потенциала.
Уравнение линии напряженности может
быть получено на основе следующих
соображений. Пусть некоторая линия
напряженности поля рассматривается
как начальная (рис.).
Соединим произвольную точку М(х,у)
с некоторой точкой А начальной линии
криволинейным отрезком МтА. Обозначим
через
поток вектора
сквозь поверхность, которую описал бы
отрезок МтА, перемещаясь параллельно
самому себе в направлении оси 0z
и проходя путь l.
Условимся рассматривать поток на
единицу длины проводов и введем
обозначение
.
Величина V, так же как и величина потока , зависит от положения точки М, т.е. является функцией ее координат, что мы запишем в виде V(х,у). Ясно, что для всех точек М(х,у), лежащих на одной и той же линии напряженности поля, функция V(х,у) имеет одинаковые значения. Поэтому уравнение
определяющее совокупность таких точек, и является уравнением этой линии напряженности поля. Функцию V(х,у) называют функцией потока.
Функция V(х,у)
многозначна, так как если обойти по
некоторому замкнутому контуру сечение
какого-либо заряженного провода, то V
получит приращение, равное
,
где
- поток сквозь цилиндрическую
поверхность, охватывающую отрезок этого
провода длиной l.
Эта многозначность не имеет существенного
значения, так как напряженность поля,
как сейчас будет показано, определяется
в виде производной функции V
по координате и значение постоянной
слагающей функции не играет существенной
роли.
Условимся наносить на чертеже линии
напряженности поля так, чтобы при
переходе от любой линии к соседней,
всегда получать одно и то же приращение
функции потока.
Отметим, что уравнения
и
определяют два семейства кривых,
пересекающихся всюду под прямым углом,
т.е. образующих в плоскости хяОу
ортогональную сетку. Пусть dп
— элемент длины линии напряженности
поля и da - элемент
длины линии равного потенциала. Очевидно,
во всех точках поля
.
Будем считать координату п возрастающей
в направлении вектора
.
Координату а будем считать
возрастающей влево от вектора
для наблюдателя, расположившегося
так, что для него вектор
направлен снизу вверх. Потенциал U
увеличивается в направлении против
вектора
,
т.е. в сторону уменьшения координаты
п. Условимся считать функцию потока
V возрастающей в
том же направлении, в котором увеличивается
а. Напряженность электрического
поля при этих условиях может быть
выражена через U и V
в форме
. (*)
Равенство
говорит о том, что величина вектора
численно равна уменьшению потенциала
на единицу длины в направлении линии
напряженности поля. Соотношение же
следует из того, что напряженность поля
численно равна потоку вектора
,
проходящему через единицу поверхности,
нормальной к линиям напряженности поля.
Давая приращение только одной координате
а, получим соответствующее приращение
потока
.
Поток
проходит через поверхность l
da. Так как эта
поверхность нормальна к линиям
напряженности поля, то
Уравнение (*) выражено в системе криволинейных ортогональных координат п и а, где п отсчитывается вдоль линий напряженности поля и а — вдоль линий равного потенциала. Переходя к декартовым координатам, напишем:
(**)
Обе функции, U и V удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав первое уравнение (**) еще раз по х и второе еще раз по у, получим
и
,
откуда
.
Дифференцируя первое уравнение по у,
а второе по х найдем
и , откуда
Таким образом, любые функции U
и V, удовлетворяющие
совокупности уравнений (**),
удовлетворяют и тому, что
.
Для заданной системы проводников эти
функции должны быть такого вида, чтобы
удовлетворялось второе требование -
постоянство и потенциала U
на поверхности каждого проводника.
Кроме того, для определения постоянных в выражениях функций U и V необходимо использовать третье условие - количественное задание потенциалов или зарядов проводников.
Соотношения (**) вполне достаточны для вычисления составляющих напряженности поля, если тем или иным способом найдена либо функция U(х,у), либо функция V(х,у).
Плоскопараллельное поле (магнитное)
Если ограничится рассмотрением областей без токов, т.е. скалярным потенциалом, магнитное поле постоянных токов будет идентично электростатическому полю.
Обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа.
Функции UM и VM можно связать с векторным потенциалом.
HZ =0; BZ =0;
Ax=0
; Ay=0
;
,
т.к вектор плотности тока всюду параллелен
оси 0z;
Поэтому имеем
; 
; 
,
причем постоянная с может быть
отброшена как немеющая существенного
значения.
Построение картины поля на плоскости. Линии потенциала U(x,y) = Const и линии функции потока V(x,y) = Const.
При построении картины плоскопараллельного поля должны соблюдаться следующие условия:
линии напряженности поля и линии равного потенциала должны пересекаться всюду под прямым углом;
линии напряженности поля должны быть перпендикулярны к контурам, ограничивающими сечения проводников;
ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и линиями равного потенциала, при достаточной густоте сетки должны быть приблизительно подобны друг другу.
При условиях
и
имеем
Задача расчета весьма упрощается, если все величины, характеризующие поле, зависят только от двух координат. Такому условию удовлетворяет поле системы: из нескольких бесконечно длинных параллельных друг другу цилиндрических проводов с зарядами, равномерно распределенными по их длине. Диэлектрик будем предполагать однородным. Направим ось 0z параллельно осям проводов. Тогда все линии напряженности поля будут лежать в плоскостях, параллельных плоскости ХОY. Картина поля во всех этих плоскостях одинакова, и достаточно исследовать поле только в плоскости хОу. Поле такого вида будем называть плоскопараллельным полем. На рис. изображены поперечные сечения двух проводов и картина поля около них. Потенциал плоскопараллельного поля есть функция только двух координат: х и у. Поверхности равного потенциала суть цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси 0z. Линии равного потенциала в плоскости х0у определяются уравнениями вида
Условимся наносить на чертеже линии равного потенциала через такие промежутки, чтобы при переходе от любой линии к соседней всегда получать одинаковое приращение потенциала.
Уравнение линии напряженности может быть получено на основе следующих соображений. Пусть некоторая линия напряженности поля рассматривается как начальная (рис.). Соединим произвольную точку М(х,у) с некоторой точкой А начальной линии криволинейным отрезком МтА. Обозначим через поток вектора сквозь поверхность, которую описал бы отрезок МтА, перемещаясь параллельно самому себе в направлении оси 0z и проходя путь l. Условимся рассматривать поток на единицу длины проводов и введем обозначение .
Величина V, так же как и величина потока , зависит от положения точки М, т.е. является функцией ее координат, что мы запишем в виде V(х,у). Ясно, что для всех точек М(х,у), лежащих на одной и той же линии напряженности поля, функция V(х,у) имеет одинаковые значения. Поэтому уравнение
определяющее совокупность таких точек, и является уравнением этой линии напряженности поля. Функцию V(х,у) называют ф у н к ц и е й п о т о к а.
Функция V(х,у) многозначна, так как если обойти по некоторому замкнутому контуру сечение какого-либо заряженного провода, то V получит приращение, равное , где - поток сквозь цилиндрическую поверхность, охватывающую отрезок этого провода длиной l. Эта многозначность не имеет существенного значения, так как напряженность поля, как сейчас будет показано, определяется в виде производной функции V по координате и значение постоянной слагающей функции не играет существенной роли.
Условимся наносить на чертеже линии напряженности поля так, чтобы при переходе от любой линии к соседней, всегда получать одно и то же приращение функции потока.
Отметим, что уравнения и определяют два семейства кривых, пересекающихся всюду под прямым углом, т.е. образующих в плоскости хОу ортогональную сетку. Пусть dп — элемент длины линии напряженности поля и da - элемент длины линии равного потенциала. Очевидно, во всех точках поля . Будем считать координату п возрастающей в направлении вектора . Координату а будем считать возрастающей влево от вектора для наблюдателя, расположившегося так, что для него вектор направлен снизу вверх. Потенциал U увеличивается в направлении против вектора , т.е. в сторону уменьшения координаты п. Условимся считать функцию потока V возрастающей в том же направлении, в котором увеличивается а. Напряженность электрического поля при этих условиях может быть выражена через U и V в форме
. (*)
Равенство говорит о том, что величина вектора численно равна уменьшению потенциала на единицу длины в направлении линии напряженности поля. Соотношение же следует из того, что напряженность поля численно равна потоку вектора , проходящему через единицу поверхности, нормальной к линиям напряженности поля. Давая приращение только одной координате а, получим соответствующее приращение потока . Поток проходит через поверхность l da. Так как эта поверхность нормальна к линиям напряженности поля, то
Уравнение (*) выражено в системе криволинейных ортогональных координат п и а, где п отсчитывается вдоль линий напряженности поля и а — вдоль линий равного потенциала. Переходя к декартовым координатам, напишем:
(**)
Обе функции, U и V удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав первое уравнение (**) еще раз по х и второе еще раз по у, получим
и ,
откуда
.
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х найдем и , откуда
Таким образом, любые функции U и V, удовлетворяющие совокупности уравнений (**), удовлетворяют и тому, что . Для заданной системы проводников эти функции должны быть такого вида, чтобы удовлетворялось второе требование - постоянство и потенциала U на поверхности каждого проводника.
Кроме того, для определения постоянных в выражениях функций U и V необходимо использовать третье условие - количественное задание потенциалов или зарядов проводников.
Соотношения (**) вполне достаточны для вычисления составляющих напряженности поля, если тем или иным способом найдена либо функция U(х,у), либо функция V(х,у).