13. Изображение динамических процессов в фазовом пространстве. Построение фазового портрета цепи. Метод изоклин.

При исследовании процесса зачастую интересует не конкретное решение, а приделы возможных изменений тока, напряжения, собственной частоты, скорости затухания процессов и прочее. Ответ на эти вопросы дает, так называемый, фазовый портрет эл. цепи. В фазовом пространстве координатами являются переменные состояния и их производные. В любой момент времени состояния определяются точкой в фазовом пространстве. По мере протекания переходного процесса эта точка перемещается, образуя фазовую траекторию. Совокупность фазовых траекторий соответствующих начальным условиям называются фазовым пространством.

Если порядок системы не более 2-ого, фазовое пространство называется фазовой плоскостью.

i=x; y=dx/dt.

Некоторые примеры фазовой траектории:

В случае нелинейной цепи фазовая траектория не будет кривой и может переискать ось оx не один раз, что соответствует нескольким точкам равновесия.

Существуют некоторые правила движения рабочей точки по траектории:

• Если точка находиться в верхней полуплоскости она может двигаться только с лева на право.

• То же самое в нижней полуплоскости движение только с лева на право.

• Периодическому процессу соответствует замкнутая траектория, при этом ось ох может пресекаться только нормально (угол пересечения 90⁰)

Рассмотрим систему второго порядка

В случае r=0.

Соответствует незатухающим колебаниям

Решение этого уравнения

Фазовая траектория будет эллипсом, центр которого называется устойчивым центром

Если

Центральная точка называется устойчивым фокусом.

В случае нелинейных цепей возможны случаи неустойчивости центров, фокусов и узлов.

Построение фазового портрета (метод изоклин).

Процесс описывается уравнением второго порядка.

Рассмотрим систему

Поделив одно уравнение на другое, получим

Данное уравнение определяет линия, которую фазовая траектория пересекает под одним и тем же углом. Такая линия называется изоклиной, построив достаточное число изоклин и зная начальные условия нетрудно провести фазовую траекторию.

14. Электростатическое поле. Определение потенциала по заданному распределению заряда.

Электростатическое поле

Можно рассматривать как частный случай

Последнее уравнение говорит о без вихревом характере поля (см. вихревые и потенциальные поля).

Такое поле в каждой точке пространства может быть описано скалярной функцией с точностью до произвольной постоянной - эта функция называется потенциал.

Знак “минус” соответствует произвольному выбору направления вектора от “+” к “-”.

grad – наибольшая скорость изменения функции.

Определение потенциала по заданному распределению заряда

(потенциальные и вихревые поля)

;

Если представить заряд q совокупностью элементарных зарядов, то ,

Тогда

- в случае объемного распределения.

=>

- поверхностное распределение.

- линейное распределение.