11. Устойчивость режима в цепях с нелинейными элементами. Устойчивость в малом. Критерий устойчивости.

Основные положения теории устойчивости

Вопрос об устойчивости работы эл. цепи возникает в следующих случаях:

• При наличии положительной обратной связи.

• При наличии нелинейного элемента у которых характеристика или участок характеристики падающий (отрицательный параметр).

Общие пути определения устойчивости:

Составляется д/у цепи, нелинейная характеристика в этом уравнении заменяется разложением в котором члены второго и большего порядков отбрасываются. Из этого уравнения вычитается уравнение равновесия, получается уравнение для отклонения – оно линейное и его решение имеет вид

Система неустойчива если хотя бы один корень p_k будет в правой полуплоскости (+).

Процесс неустойчивости приводит к следующим следствиям:

• Переход в другую точку равновесия;

• Прекращение электромагнитного процесса;

• Нарастание тока и напряжения вплоть до разрушения эл. цепи;

• Возможен случай, что при нарастании отклонения решения уравнения меняет свой характер, это может привести к возвращению цепи в исходное состояние, такой процесс называется автоколебательным.

Такой подход исследования справедлив если отклонение небольшое; данный метод называется исследование устойчивости в малом.

Любая эл. цепь может иметь устойчивый или неустойчивый режим. Неустойчивый режим характеризуется выходом из состояния равновесия при сколь угодно малом воздействии.

• Рассмотрим цепь с индуктивностью и нелинейным сопротивлением.

Уравнение цепи:

При равновесии в цепи ток не должен изменяться, т.е. должно быть di/dt=0.

Имеется две точки равновесия (т.к. производная в этих точках di/dt=0. следовательно i=const и u=const).

Пусть в момент времени t=0, ток получил незначительное отклонение , т.о. . Задачей проверки устойчивости является исследование функции . Если , при , состояние равновесия устойчивое.

В условия равновесия исходное д/у запишется:

Запишем исходное уравнение при наличии отклонения ( ):

Для упрощения отбросим все члены второго порядка малости.

Для того чтобы получить уравнение для отклонения вычтем (2) – (1)

Устойчивое равновесие будет выполняться при , т.е. , т.о. точка В является устойчивой.

• Рассмотрим цепь с емкостью и нелинейным сопротивлением.

Уравнение при равновесии будет:

Отклонение напряжения: , в этом случае

Запишем уравнение при отклонении:

Найдем уравнение для отклонения (2)-(1)

Устойчивости соответствует отрицательный показатель, т.е. , т.к. С всегда >0, должно быть <0, это будет в точке А, т.к. .

Из примера видно, что устойчивость зависит не только от характеристики нелинейного элемента, а так же от его включения в цепь (L или С), при этом абсолютное значение L или С влияние не оказывает.

12. Выбор эквивалентной схемы замещения при определении устойчивости режима цепи.

Рассмотрим простейшую схему, когда цепь состоит только из последовательно соединенного резистора r и нелинейного элемента имеющего падающую характеристику.

Пусть напряжение и₀, сопротивление r и характеристика и=F(i) таковы, что имеют место две точки равновесия А и В (см. рис.) Возникает вопрос, какая из точек А или В может быть точкой устойчивого равновесия. Из рассмотрения в предыдущих параграфах видим, что решение этого вопроса зависит от наличия индуктивности или емкости в цепи. Любой участок реальной цепи, в том числе и любой реальный нелинейный элемент обладает распределенными емкостью и индуктивностью. Учитывая только индуктивность, получим один ответ, а учитывая только емкость, получим другой ответ.

При учете и индуктивности, и емкости можем представить эквивалентные схемы:

или

Обе схемы приближенные, так как в действительности и индуктивность, и емкость являются распределенными. Составляя для этих схем уравнения и решая их для малого отклонения от состояния равновесия, получим также различные ответы в отношении точек устойчивого равновесия.

Рассмотрим на примере второй схемы.

Принимая, имеем и, ограничиваясь первыми двумя членами, находим .

Уравнение равновесия

Вычитая из (2) – (1) получим

В случае оба корня вещественные и один корень положительный, т.о. точка А неустойчива. Если , то состояние характеризуется точкой В. При этом корни могут быть вещественными или комплексными, при этом вещественные части обоих корней отрицательны, => точка В устойчива.

В то же время точка В при определенных условия тоже может быть неустойчивой.

При выборе сх. замещения, сх. первого типа выбирают в случае если энергия эл. поля превосходит энергию магнитного поля и соответственно вторая схема наоборот.