9. Уравнения состояния нелинейной цепи. Решение посредствам кусочной аппроксимации (сопряжение интервалов).

Решение уравнения состояния численным методом

Рассмотрим на примере явного метода Эйлера

Расчет переходного процесса методом сопряжения интервалов

( Скачком не изменяются)

Заменим на каждом участке соответственно линейной индуктивностью

; ;

Найдем решение для первого участка

Найдем интервал времени соответствующий первому участку

0 – t₁

Найдем решение для второго участка

при t = t₁

Это решение справедливо для интервала t₁ – t₂

Запишем это решение в момент времени t₂

Найдем решение для третьего участка

при t = t₂

Запишем это решение в момент времени t₃

Или в общем виде:

10. Особенности линеаризации н.Ц.

Пусть в нелинейном дифференциальном уравнении, описывающем переходные процесс в цепи, член, содержащий коэффициент, зависящий от интенсивности процесса, имеет второстепенное значение по сравнению с другими члена уравнения, содержащими постоянные коэффициенты. Это значит, что максимальное значение этого члена в переходном процессе значительно меньшё максимальных значений, достигаемых другими членами. В таком случае коэффициент при этом нелинейном члене приближенно может быть принят постоянным, равным некоторому среднему своему значению. Уравнение при этом становится линейным и может быть просто решено относительно искомой величины. Таким образом, этот метод основан на условной линеаризации уравнения цепи.

Применим этот метод к исследованию важного для практики случая включения катушки с ферромагнитным сердечником под синусоидальное напряжение.

Уравнение цепи имеет вид:

Пусть член имеет второстепенное значение в указанном выше смысле по сравнению с членом . Такое условие соблюдается, например, при включении мощных ненагруженных во вторичной цепи трансформаторов, так как сопротивление r их обмоток обычно незначительно. Зависимость является нелинейной, так как L есть функция i. Если в уравнение подставить вместо его выражение через i, то уравнение относительно тока будет содержать нелинейность в главном члене. Если же выразить ток i через , то получим уравнение в виде

Где нелинейный член является второстепенным и в нем можно приближенно принять I. = const. Уравнение становится линейным и имеет решение:

Если , то . Переходный процесс проявляется наиболее интенсивно при включении цепи в такой момент, когда начальная фаза напряжения равна . Пусть При этом и На рис. 1, приведены кривые потокосцепления и его составляющих . Мы видим, что при большой постоянной времени по сравнению с периодом потокосцепление может достичь через полпериода почти удвоенного значения своей амплитуды . На рис. 2 Приведена нелинейная характеристика . При установившемся процессе да тока I_m соответствующая амплитуде потокосцепления имеет незначительную величину. Однако при увеличении потокосцепления до 2 ток получает весьма большое значение вследствие нелинейности характеристики сердечника. На рис. 3 показано изменение тока i во времени в переходном процессе, которое может быть найдено, если воспользоваться полученным выше выражением для и зависимостью тока от потокосцепления (рис. 2)

Такой всплеск тока может вызвать механические разрушения обмотки, так как электродинамические усилия пропорциональны квадрату тока. Поэтому мощные ненагруженные трансформаторы включают через дополнительные сопротивления, которые затем замыкают накоротко. Как было сказано выше, член ri можно считать второстепенным для достаточно больших катушек с ферромагнитным сердечником. Однако если бы мы стали рассматривать очень маленькую катушку с ферромагнитным сердечником, для которой велико по сравнению с 1/T, или рассмотрели бы случай, когда последовательно с катушкой в цепь включено большое активное сопротивление, то сделанное допущение могло бы оказаться несправедливым. Могло бы даже случиться, что второстепенным членом в вышеуказанном смысле оказалось слагаемое . В таком случае правильнее было бы принять L=const в этом члене, т.е. написать

И приняв приближенно L=const, найти i(t) путем решения этого линейного уравнения. Кривую же при этом следовало бы найти, пользуясь вычисленной зависимостью i(t) и кривой намагничивания . При этом оказалось, что ток содержит экспоненту с наложенной на нее синусоидой, а полуволны кривой потокосцепления, при которых сердечник насыщается, имели бы упрощенный вид.

Характер изменения величины r/L ни в том, ни в другом случае нельзя считать несущественным, если интересоваться действительной скоростью перехода процесса от начального, имеющего место сразу после включения, к установившемуся. В этом отношении выполненное выше решение является весьма приближенным, так как остается неясным, какое значение L следует подставить выражение . Можно рекомендовать подставить один раз наибольшее и другой раз наименьшее возможные значения, определяемые по кривой . Этим путем определяются крайние пределы возможных процессов. Действительный процесс будет ближе к тому, который может быть рассчитан при некотором среднем значении L.