Билет№20 Билет №21 Производная.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x₀  и  

x₀ +x лежат на этом промежутке

Определение 1:Производной функции в точке x₀ называют предел (если он существует и конечен):

 

Если в точке x₀  выполняется условие: 

то говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ бесконечную производную.

В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной.

Определение 2:

Говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ правую производную, если существует предел:

Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)

Производные основных элементарных функций.

1.  , где     (7) эта формула будет доказана позже.

2.

; (8)

(9)

формулы (8) и (9) доказываются с помощью определения производной, 1 замечательного предела и непрерывности функции cos(x) и sin(x) соответственно.

3.

y=tg(x); (10) где

y=ctg(x) (11)

Формулами (10) и (11) доказываются с использованием правила дифференцирования частного и формул (8) и (9).

 

4.   где     (12)

; перейдем к lim при   пусть   при     (2-ой замечательный предел). Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции   или  , если a=e  .

.

5.

y=arcsin(x)  (13)

y=arccos(x)  (14)

 

 т.к. на     то корень арифметический по теореме о производной обратной функции   (13). Формула (14) доказывается аналогично или с помощью

6.

y=arctg(x)  (15)

y=arcctg(x)  (16)

 

 по теореме о производной обратной функции  .Формула (16) доказывается аналогично.

 

7.   где 

 по теореме о производной обратной функции имеем   таким образом  ;   (17).

В частности, если a=e,   (18).

 

8.

y=sh(x)  (19)

y=ch(x)  (20)

            Доказательство формулы (20).

Имеем  .

Формула (19) доказывается аналогично.

 

9.

(21)

(22)

При доказательстве используется производная частного, а потом формулы (19) и (20).

Геометрический смысл производной.

Определение

Касательной   к графику функции   называется предельное положение секущей при стремлении точки   к точке   вдоль графика(при этом   стремится нулю).

Предположим, что кривая   имеет в точке   касательную. Очевидно,  .

Имеем право перейти к пределу при  ,т.к. предположили, что кривая имеет касательную

или, в силу непрерывности функции   

Таким образом, производная функции   в точке   равна угловому коэффициенту касательной   проведённой к графику функции   в точке  .

Запишем уравнение касательной  .

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку   имеет вид

для касательной   будем, следовательно, иметь уравнение (T)

В частности, если   то касательная имеет уравнение  , т.е. горизонталь.

Заметим, что если производная функции   в точке   бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение  .

Нормалью к графику функции   в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т).

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

 - уравнение нормали (N)

 

22. Дифференциал функции. Критерий дифференцируемости функции.

Билет №23 Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.

Доказательство:

Билет №24 Формула Лейбница.

Производные и дифференциалы высших порядков.