Теорема Бореля - Лебеда

Рассмотрим S = {u_ν}_{ν є Λ (}u_{ν - интервалы)}

Здесь Λ – некоторое множество индексов. Оно может быть конечным, счетным, более чем счетным.

Опр. Говорят, что система S = {u_ν}_{ν є Λ}покрывает отрезок [a,b], если [a,b] .

Опр. Подмножество множества S, так же являющееся системой интервалов будем называть подсистемой системы S.

Пусть , тогда –подсистема ν є системы S.

Подсистема конечна, если состоит из конечного числа интервалов.

Теор. ( Бореля-Лебеда ) В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема интервалов покрывающих отрезок.

Док-во:Пусть {u_ν}_{ν є Λ}покрывает AB, т.е. ∆₀ = [a, b] = [a₀, b₀]

Допустим противное, что ∆₀ не допускает конечного покрытия интервалами, тогда хотя бы одна половина не допускает конечного покрытия интервалами.

∆₁ = [a₁,b₁]

∆₂ = [a₂,b₂]

В результате

L( ) = 0, при n∞

ПотеоремеКантора∃!сє {∆_n}, ∀_nєZ₊, т.е. a_n b_n

C є [a, b] = [a₀, b₀]

∃(α,β) = u₀, который покрывает С, т.е. α<c<β

Введем ε = min{c-α,β-c} > 0

L( ) 0 при n ∞

Выберем номер n: L( ) <ε, тогда справедливо следующее неравенство:

α (5)

В противном случае имели бы

(5) => = [a_n, b_n] = u₀, противоречие в построение .

Замеч. Для интервалов не справедливо.

Билет №12

Способы задания функции

Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках, с помощью таблиц, описательный способ.Для отображения используют график

Билет №13

Билет №14

Вопрос15

Непрерывность функции. Непрерывность суммы, произведения и частного функций. Непрерывность композиции функций. Точки разрыва и их классификация

-определение непрерывности

Опр: функция f(x) определена в некоторой окрестности a наз. Непрерывной в a, если lim f(x)=f(a) (x->a) т.о. f(x) непрерывна в а, если

1) ∃∂0>0:U∂0⊂D(f)

2) ∃ конечный lim f(x)=A (x->a)

3)A=A f(a)

Опр: f(x)-непрерывна слева в а, если lim f(x)=f(a) x->a-0

f(x)-непрерывна справа в a,если lim f(x)=f(a) (x->a+0)

Функция непрерывна в а, если она непрерывна в а справа и слева.

-точки разрыва

Опр: а-точка разрава f(x), если ф-я либо не определена в а, либо непрерывна в этой точке.

Опр: если а-точка разрыва функции и в а существуют пределы ф-ии справа и слева, то а-точка разрыва первого рода.

Замеч: если ф-точка разрыва первого рода, то f(a+0)-f(a-0) наз. Скачком ф-ии в этой точке. Если f(a+0)-f(a-0)=0, то а-точка устранимого разрыва

Опр: f(x) называется непрерывной на [a,b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a,b) и в т. а непрерывна справа, а в b- слева.

Пусть а-точка разрыва f(x) которая не явл точкой разрыва первого рода, тогда а-точка разрыва второго рода. В такой точке хотя бы один из пределов либо не существует, либо равен бесконечности.

Теорема если f(x) определена и монотонна на [a,b], то она может иметь внутри [a,b] только точки разрыва первого рода.

Д-во

Пусть x ∈ (a,b) и f(x) возрастает на [a,b] f(x0-0) <=f(x0)<=(x0+0) .

Если (x0+0)> f(x0-0) то f(x0-0)-точка разрыва первого рода если f(x0-0) =f(x0)=(x0+0) то x0-∀ ∃ ε∂′∈∞⊂очка непрерывности.

Непрерывность суммы произведения и частного

Пусть функции f(x),g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±g(x) ,f(x)g(x), f(x)/g(x) (частное в случае когда g(x0)≠0)

Доказательство.

Непрерывность частного. Пусть f(x),g(x) непрерывны в точке х0, т.е.

lim f(x)= f(x0) Lim g(x)=g(x0) причем g(x0)≠0

x→х0 x→х0

Существует lim (f(x)/g(x)) и тот предел равен (im f(x))/(lim g(x))=f(x0)/g(x0)

x→х0 x→х0 x→х0

что означает непрерывность функции f(x)/g(x) в точке х0.

Непрерывность композиции

Если ф-я z=f(y) непрерывна в т. y₀ , а ф-я y=u(x) непрерывна в x₀ причем y₀=u(x₀), то в некоторой окресности т. x_0, определена f(u(x)) и это ф-я непрерывна в т. x₀.