Билет №10 Теорема Кантора о вложенных отрезках.

∆n = [a_n, b_n], n є N, a_n <b_n

Опр.{∆_n} –стягивающаяся, если:

1. ∀_{n є N} ↦ ∆_{n + 1} є ∆_n (1)

2. L(∆_n) = b_n – a_n 0, при n ∞ (2)

a₁ ≤a₂ ≤ … ≤ a_n ≤ … ≤b_m≤ … ≤b₂ ≤b₁

Теор. (Кантора о вложенных отрезках): Если {∆_n} – стягивающаяся, то ∃!сє {∆_n}.

Док-во:

А)Существование точки С:

(3) => ∀_nє N, ∀_m є N ↦ a_n≤b_m

По теореме об отделимости числовых множеств (глава 1) ∃с = SUP{a_n}: ∀_nєN

∀_mєN↦a_n≤c≤b_m, a_n≤c≤b_n, ∀_nєN

Б) Единственность точки С:

Доказательство от противного:

С и С’ :C є ∆_n, C’ є ∆_n и C ≠ C’

a_n≤ C ≤ C’ ≤b_nилиa_n ≤ C’ ≤ C ≤b_n (3)

Из (3) =>b_n - a_n≥ c’ – c = δ > 0, тогда L(∆_n) = b_n– a_nне стремится к 0, при n∞ (4)

(4) противоречит (2), не является стягивающейся, что противоречит условию теоремы.

Замеч. 1: Если {∆n} – стягивающаяся, то

Замеч. 2: Для стягивающейся последовательности интервалов аналогичная теорема не верна.

Пример:

Теорема Бореля - Лебеда

Рассмотрим S = {u_ν}_{ν є Λ (}u_{ν - интервалы)}

Здесь Λ – некоторое множество индексов. Оно может быть конечным, счетным, более чем счетным.

Опр. Говорят, что система S = {u_ν}_{ν є Λ}покрывает отрезок [a,b], если [a,b] .

Опр. Подмножество множества S, так же являющееся системой интервалов будем называть подсистемой системы S.

Пусть , тогда –подсистема ν є системы S.

Подсистема конечна, если состоит из конечного числа интервалов.

Теор. ( Бореля-Лебеда ) В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема интервалов покрывающих отрезок.

Док-во:Пусть {u_ν}_{ν є Λ}покрывает AB, т.е. ∆₀ = [a, b] = [a₀, b₀]

Допустим противное, что ∆₀ не допускает конечного покрытия интервалами, тогда хотя бы одна половина не допускает конечного покрытия интервалами.

∆₁ = [a₁,b₁]

∆₂ = [a₂,b₂]

В результате

L( ) = 0, при n∞

ПотеоремеКантора∃!сє {∆_n}, ∀_nєZ₊, т.е. a_n b_n

C є [a, b] = [a₀, b₀]

∃(α,β) = u₀, который покрывает С, т.е. α<c<β

Введем ε = min{c-α,β-c} > 0

L( ) 0 при n ∞

Выберем номер n: L( ) <ε, тогда справедливо следующее неравенство:

α (5)

В противном случае имели бы

(5) => = [a_n, b_n] = u₀, противоречие в построение .

Замеч. Для интервалов не справедливо.

Билет № 11 Теорема Кантора о вложенных отрезках.

∆n = [a_n, b_n], n є N, a_n <b_n

Опр.{∆_n} –стягивающаяся, если:

1. ∀_{n є N} ↦ ∆_{n + 1} є ∆_n (1)

2. L(∆_n) = b_n – a_n 0, при n ∞ (2)

a₁ ≤a₂ ≤ … ≤ a_n ≤ … ≤b_m≤ … ≤b₂ ≤b₁

Теор. (Кантора о вложенных отрезках): Если {∆_n} – стягивающаяся, то ∃!сє {∆_n}.

Док-во:

А)Существование точки С:

(3) => ∀_nє N, ∀_m є N ↦ a_n≤b_m

По теореме об отделимости числовых множеств (глава 1) ∃с = SUP{a_n}: ∀_nєN

∀_mєN↦a_n≤c≤b_m, a_n≤c≤b_n, ∀_nєN

Б) Единственность точки С:

Доказательство от противного:

С и С’ :C є ∆_n, C’ є ∆_n и C ≠ C’

a_n≤ C ≤ C’ ≤b_nилиa_n ≤ C’ ≤ C ≤b_n (3)

Из (3) =>b_n - a_n≥ c’ – c = δ > 0, тогда L(∆_n) = b_n– a_nне стремится к 0, при n∞ (4)

(4) противоречит (2), не является стягивающейся, что противоречит условию теоремы.

Замеч. 1: Если {∆n} – стягивающаяся, то

Замеч. 2: Для стягивающейся последовательности интервалов аналогичная теорема не верна.

Пример: