Главное значение интегралов 2-го рода.

Пусть f(x) определена на , за исключением может быть одной точки (внутренней точки ). .

Кроме того, пусть для , , . Тогда под главным значением (V.p.) понимается следующий предел .

Билет № 21. Интегралы, зависящие от параметра

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Пусть в двумерном пространстве задана область  , на которой определена функция   двух переменных. Пусть далее, .

Функция   и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметра:

1) Непрерывность

Пусть функция   непрерывна в области   как функция двух переменных. Тогда функция   непрерывна на отрезке  .

2) Дифференцирование под знаком интеграла

Пусть теперь на области   непрерывна не только функция  , но и её частная производная  .

Тогда  , или, что то же самое, 

3) Интегрирование под знаком интеграла

Если функция   непрерывна в области  ,то , или, что то же самое:

Билет № 22. Интегралы Эйлера

Бета – функция

B(p,q) := ^p-1(1-x)^q-1dx

P<1, q<1

Г(p):= ^-xx^p-1dx

p<1 сходится при p>0, q>0 и является непрерывным от p до q.

Свойства:

1. Г(p+1) = pГ(p) => Г(n+1) = n!, n |N

2. (1) = 1 =>

3.

Билет №23. Определение и свойства двойного интеграла

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл   от функции одной переменной   выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник   (рисунок 2).

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области   определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δx_i и Δy_j стремятся к нулю:

Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник  , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если   в области R, то  ;

5. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;

6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок5), то  .  Здесь   означает объединение этих двух областей.

Билет №24.Сведение двойного интеграла к повторному:

-случай прямоугольной формы интегрирования (с доказательством)

-случай криволинейной трапеции

Сведение двойного интеграла к повторному.

Теорема:

Пусть f интегр по Риману на пр-нике П

Тогда  повторный интеграл

Замечание:

Пусть

Тогда  повторн интеграл

• Криволинейная трапеция

Теорема

Пусть

1. 

2. 

1. 

2. 

Билет №25. Тройные интегралы – теорема о сведении к повторным интегралам

Свойство: - объем области D

Теорема о сведении тройного интеграла к повторному.

Пусть ,

Тогда

Билет №26.Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае

Определение: Якобианом отображением F в точке p=(u,v) называется следующий определитель: =

Предположение:

- геометрический смысл Якобиана

при h->0

Билет №27:Замена переменных в двойном интеграле

Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой:

Теорема: Пусть D, - открытые, квадрируемые, ограниченные ,

F: x=x(u,v), y=y(u,v)- непрерывно и взаимнооднозначно отображает D на

F непрерывно отображает замыкание на замыкание

– непрерывные функции для

Тогда

Билет №28: Полярные координаты, геометрический смысл якобиана в этом случае

F: - полярные координаты

Модуль якобиана отображения равен  . Таким образом получаем, что

.

З десь   является элементом площади в полярных координатах.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Билет №29: Геометрический смысл Якобиана в трехмерном случае.

Определение: Якобианом отображением F в точке t=(t1,t2,t3) называется следующий определитель

Билет № 30. 3амена переменных в тройном интеграле

Теорема:

Пусть: 1) Обл. Dx, Dt – кубируемых (измеряемые) откр, огр.

2) x = F(t) = {x_j=x_i(t₁, t₂, t₃), i=1,2,3} Является непрерывной на , F непрерывно отображает на взаимно однозначно и непрерывно диффер. на отобра. на

3) Якобиан на Dt

J(t) непрерывно продолжим на

4) f(x)∈ C( ) (черта однозначное замыкание)

Тогда:

Билет №31. Сферические координаты, якобиан перехода от декартовых координат к сферическим

0≤θ≤π

0≤φ≤2π

0≤r≤+∞

θ, φ, r – сферические координаты

П осчитаем этот интеграл с помощью полярных координат

0≤φ<2π

0

φ

≤r<-∞

x=r cosφ

y=r cosφ

J² =

Билет №32. Цилиндрические координаты, якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим

Цилиндрические координаты,

1. Возьмем точку М

2. Соед. С нач. коорд.

3. Спроецир ее на oxy

4. Соед . с нач координат

5. Берем плоскость м\у oz b om

6. Опускам перпендикуляр из М к oz

7. Z=h , O обознач. Через p

Опускаем перендикуляр из к Ox, x=p

= = 1 p=p

якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим

Билет №33. Замена переманных в n-кратном интеграле

и - измеримые открытые множества

,

2)x=F(t)=x(t)= (x1, x2,…, xn) xi=xi(t1,…, tn)

t- вектор с координатами (t1, t2,…., tn), i1, i2,…

F: взамно-однозначно

F непрерывнодефференцируема на

Обозначим Fϵ ( ), т.е. все ϵ C( ) для любого 1≤I , j≤h,

3) J(t)= = не равно 0 на

4) J(t) непрерывно продолжим на тогда

Для любого fϵC( ) справедлива формула

=

=

Билет №34.Криволинейные интегралы первого и второго рода: определения, свойства (случай плоской кривой)

Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы  , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

             

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если   в одной точке, то

3. Монотонность: если   на  , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль   функции  :

Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Определение: Если существует конечный предел при  интегральной суммы  , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

                     .                        

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если   на  , то

4. Оценка модуля:

5. Теорема о среднем: если   непрерывна на  , то  , такая что:  6. 

Билет №35. Формулы для вычисления криволинейных интегралов (случай плоской кривой, случай пространственной кривой)

Случай плоской кривой:

Криволинейный интеграл 1-го рода при задании кривой уравнениями  ,   (плоская кривая) вычисляется по формуле

При явном задании кривой К уравнением     криволинейный интеграл второго рода вычисляется по формуле

т.е. криволинейный интеграл преобразуется в обыкновенный по х.

Случай пространственной кривой:

Криволинейный интеграл первого рода по пространственной кривой от функции трех переменных f (x, у, z), если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), , вычисляется по формуле

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по пространственной кривой K; если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , проводится по формуле

Билет №36. Связь между криволинейными интегралами 2 рода и 1 рода(случай плоской кривой)

L:

L-гладкая кривая, без особых точек

P,Q C(L)

= =

(t)=> =tgα

M₀M=( ,

τ=( )

τ(cosα, cosβ)

F=(P,Q) , τ=(cosα, cosβ)

I₁=

I₂=

Билет №37.Форма записи интеграла 2 рода с использованием направляющих косинусоидов касательной (случай плоской кривой, случай пространственной кривой)

Плоский случай

         Пусть дан криволинейный интеграл второго рода по плоской кривой

.

Ответ на поставленный вопрос дают следующие две теоремы.

          Теорема 1. Для того чтобы  не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция  , что

.

         Теорема 2. Если в односвязной области существуют и непрерывны   и  , то для того, чтобы было выполнено условие теоремы 1, необходимо и достаточно, чтобы

.

Пространственный случай

         В случае интегралов по пространственной кривой соответствующие теоремы приобретают следующий вид.

         Теорема 1. Для того чтобы   не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция,   что  .

         Для формулировки второй теоремы введем понятие ротора векторной функции. Пусть   . Тогда ротор этой функции определяется так:

Теорема 2. Для того чтобы   не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.  

Билет №38 и 39. Интегральная формула Грина. Доказательство формулы Грина в случае элементарной области относительно оси Ох.Применение формулы Грина для вычисления площадей

Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'_y(х,у), Q'_x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L .

Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Пусть уравнение АСВ есть y = y₁(x) при a ≤ x ≤ b , и уравнение АКВ есть y = y2(x) при a ≤ x ≤ b. Преобразуем двойной интеграл:

здесь символ означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L.

Аналогично получается

Вычитая из формулы (3.9) формулу (3.8), получаем формулу Грина

В формулах (3.8), (3.9) и (3.10) направление обхода контура - положительное (против часовой стрелки), т. е. область D при движении по контуру L всё время остается слева. С помощью формулы Грина (3.10) можно получить выражения площади плоской фигуры через криволинейный интеграл по контуру этой ф игуры. Для этого достаточно подобрать P(x,y) и Q(х,y) такими, чтобы в области D выполнялось условие

тогда двойной интеграл в формуле (3.10) будет давать величину S площади области D.

Билет №40. Условия, обеспечивающие независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (случай плоской кривой – с доказательством, случай пространственной кривой)

Рассмотрим , ,

.

1) , .

Определение. Ф-ия называется потенциалом поля , если .

.

.

2)

.

Билет №41. Критерий потенциальности поля в ограниченной односвязной области из плоскости (с доказательством)

Теорема. Пусть область D-ограниченная, односвязная, . . Тогда любые пары точек из D не зависит от кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки A и B, тогда и только тогда, когда поле =(P,Q) потенциально. При этом .

Теорема 2. Пусть область D – ограниченная, односвязная, открытая, . P,Q, . Тогда поле является потенциальным в области D тогда и только тогда, когда .

.

.

Тогда поле потенциально.

.

Пример. , .

.

Билет №42.Критерий потенциального поля в трехмерном случае

Билет №43.Определение поверхностного интеграла первого рода. Вычисление поверхностного интеграла первого рода в случае явного уравнения для поверхности

Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл п ервого рода по отношению к определённому интегралу.

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а F(x,y,z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂, ...., ΔS_i, ..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3.8). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквамиS_i(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i,y_i,z_i) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Определение. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS_i и от выбора точек M_i  ΔS_i(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам

.

Билет №44: Определение поверхностного интеграла второго рода, связь с поверхностным интегралом первого рода

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля   по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля   через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

• Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то

• Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

Величина   называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:

Связь с поверхностным интегралом первого рода:

Интеграл от   -формы   по множеству   в стандартно ориентированном пространстве   с формой объема   определяется равенством

При изменении ориентации (   ) интеграл меняет знак.

Интеграл от   -формы   по ориентированной   -мерной поверхности   с параметризацией   определяется равенством

Интеграл от формы   по гиперповерхности   называется потоком вектора   через поверхности   . В трехмерном случае

где   . Равенство

где   -- вектор единичной нормали, согласованный с ориентацией поверхности   , устанавливает связь поверхностных интегралов 2-го и 1-го родов.

Билет №45. Поток векторного поля.

Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие  , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором  . Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля  через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода) , где -     единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи.

Билет№46. Формула Остроградского-Гауса. Формула Стокса.

Формула Остроградского-Гауса.

где   и   — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи   — элемент объёма,   — элемент поверхности.   — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Формула Стокса

Пусть на ориентируемом многообразии   размерности   заданы ориентируемое  -мерное подмногообразие   и дифференциальная форма   степени   класса   ( ). Тогда, если граница подмногообразия   положительно ориентирована, то

где   обозначает внешний дифференциал формы  .

Билет №47. Градиент. Дивергенция векторного поля, ротор векторного поля

Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр .

Ротором векторного поля (M) наз. вспомогательное векторное поле rot (M), вектора которого в каждой точке пространства определяют ориентацию плоскости, в которой циркуляция вокруг точки максимальна, а модуль ротора |rot (M)| дает значение этой циркуляции.

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) =