Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Все билеты.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

Признак Дирихле

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций монотонна и
Частичные суммы ряда равномерно ограничены

Признак Абеля

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций

равномерно ограничена и монотонна

Ряд равномерно сходится.

Билет №14. Теорема Абеля для степенных рядов

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Теорема Абеля: Пусть — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости .

Если ряд является сходящимся, тогда:

Доказательство: Заменой переменных , можно считать . Также (необходимым подбором ) можно предположить . Обозначим частичные суммы ряда . Согласно предположению и нужно доказать, что .

Рассмотрим . Тогда (приняв ):

Отсюда получается .

Для произвольного существует натуральное число ,

Правая часть стремится к когда стремится к 1, в частности она меньше при следовании к 1.

, что для всех , поэтому:

Правая часть стремится к когда стремится к 1, в частности она меньше при следовании к 1.

Билет №15.Радиус сходимости степенного ряда. Формулы для радиуса сходимости

Радиус сходимости степенного ряда. Так называют радиус круга сходимости степенного ряда на комплексной плоскости (или степенного ряда на действительной числовой оси), т.е. такое число r, что ряд сходится при |z| < r (соответственно при |x| < r) и расходится при |z| > r (соответственно при |x| > r). На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:

(Формула Даламбера);

(Формула Коши).

Билет №16.Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда

Для вычисления радиуса сходимости R существует формула Коши-Адамара. Она получается из следующей теоремы:

Теорема: Радиус сходимости ряда есть число обратное величине , при А ≠0, А≠∞, т.е. R=1\А. Если А=0, то R=∞ и если А=∞, то R=0

Доказательство: Докажем два неравенства R*A≤1 и R*A≥1. Начнем с первого. Пусть R>0. Зададим число R1, такое что 0<R1<R. Тогда при x=R1 ряд сходится, и поэтому существует число М, такое что для всех n=0,1,2….

Или для всех n=0,1,2…

Теперь

Т.е. R1*A≤1. В силу произвольности R1 (0<R1<R) можно написать R*A≤1. Это неравенство верно и при R=0.

Докажем далее, что R*A≥1. Пусть R<+∞ и R1>R. Тогда в точке x=R1 ряд расходится и тем более расходится ряд . Следовательно, по признаку Коши сходимости числового ряда ≥1 или . Откуда получаем неравенство R*A≥1, которое верно и при R=+∞. Окончательно имеем, что R*A=1 или R=1/A

Билет №17. Ряды Фурье, частная сумма ряда Фурье, формулы для коэффициентов Фурье

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π]. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле: .Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов). Если условия выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции.

Если x₀ − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде :

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами :

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид где коэффициенты Фурье определяются выражениями:

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид где ы b_n равны

Билет №18. Несобственные интегралы первого рода

Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится).

Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае , величина несобственного интеграла означает, по определению, площадь бесконечно длинной области , лежащей в координатной плоскости между лучом на оси , графиком и вертикальным отрезком .

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально: однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Билет№19. Несобственные интегралы второго рода

Пусть f(x) определена на полуинтервале и f(x) интегрируема по Риману, f(x) .

Несобственным интегралом второго рода от ф-ии f(x) по полуинтервалу называется .

Если такой предел существует и конечен, то будем говорить, что - сходится. В противном случае – расходится. Аналогично определяется интеграл по полуинтервалу .