1.11. Условные вероятности, независимость событий и экспериментов.

1.11.1. Теоремы умножения вероятностей.

Определение: Условной вероятностью P_A(B) (или P(B/A)) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Определение: Условной вероятностью P(B/AC) относительно произведения событий A и C называется вероятность наступления события B при условии, что A и C уже наступили.

Пример: В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают один шар, а затем второй. Первый шар оказался чёрным. Найти вероятность того, что второй шар будет:

а) белым,

b) чёрным.

Решение: а) P(A/B) – второй шар будет белым, при условии, что первый – чёрный:

b) P(C/B) – второй шар будет чёрным, при условии, что первый – чёрный:

Теорема 1: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое уже произошло:

Доказательство: Пусть из n возможных элементарных исходов событию A благоприятствует m исходов, из которых k исходов благоприятствует событию B. Тогда:

, т.к. событию AB благоприятствуют те исходы, которые одновременно благоприятствуют и событию A, и событию B, т.е. k.

Аналогично доказывается и формула

Следствие: Для вероятности большего числа событий справедлива формула:

Доказательство проводится методом математической индукции.

Пример: На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие именно. Найти вероятность того, что два холодильника, взятых наугад, будут с дефектами.

Решение: Пусть событие A – «первый выбранный холодильник с дефектом», событие B – «второй выбранный холодильник с дефектом». Тогда получаем:

Определение: Если при наступлении события A вероятность события B не меняется, то события A и B называются независимыми.

Пример: Два стрелка стреляют по мишени. Событие A – «первый стрелок попал в мишень», событие B – «второй стрелок попал в мишень (промахнулся)». События A и B – независимые.

Теорема 2: Если события A и B – независимые, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Доказательство: Так как события A и B независимы, то условная вероятность события А равна его безусловной вероятности:

_{Тогда по теореме 1 получаем:}

Следствие: Если события A₁, A₂, …, A_n – независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Доказательство проводится методом математической индукции.

Заметим, что если события и – независимы, то независимы также события: и , и B, и .

Определение: Несколько событий называются независимыми, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Пример: Найти вероятность появления «орла» при однократном бросании трех монет.

Решение: Пусть событие A₁ – «орёл на первой монете», событие A₂ – «орёл на второй монете», событие A₃ – «орёл на третьей монете».

События A₁, A₂, A₃ – независимые, следовательно:

Теорема 3: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P( + ) = P( ) + P( B) - P( ).

Доказательство: Событие (A+B) наступит, если наступит одно из трёх несовместных событий: , B,

_{Тогда по теореме о вероятности суммы конечного числа несовместных событий, получаем:}

P( + ) = P( ) + P( B) + P( ). (1)

Событие наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или . Тогда имеем:

P( ) = P( ) + P( ),

P( ) = P( ) - P( ).

Аналогично, получаем:

P(B) = P( B) + P( ),

P( B) = P(B) - P( ).

Подставим эти результаты в формулу (1) и получим:

P( + ) = P( ) + P( B) - P( ).

Пример: Если вероятность поступления в магазин одного вида товара Р(А)=0,4, а второго вида товара – Р(В)=0,5, и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность суммы событий равна:

Р(А+В)= 0,4 + 0,5 - 0,4 0,5 = 0,7.