4.5. Коэффициент корреляции двух случайных величин и его свойства.

Прежде чем дать определение коэффициента корреляции, дадим определение корреляционного момента.

Определение: Корреляционным моментом случайных величин (или ковариацией) называется математическое ожидание произведения их отклонений:

.

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами .

Используя свойства математического ожидания, получим более удобную формулу для вычисления корреляционного момента:

=

Таким образом, получена формула:

Для вычисления дискретных величин используют формулу:

А для вычисления величин , имеющих плотность совместного распределения вероятностей

, используют формулу:

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю.

Доказательство: Пусть случайные величины независимы. Тогда их отклонения также независимы. Пользуясь определением корреляционного момента, свойствами математического ожидания и теоремой о математическом ожидании отклонения, получим:

= = 0

Теорема: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство: Рассмотрим случайную величину . Вычислим ее дисперсию:

.

Следовательно,

Рассмотрим случайную величину Аналогично находим ее дисперсию и делаем вывод:

Следовательно,

З аметим, что размерность корреляционного момента равна произведению размерностей

Теперь дадим определение коэффициента корреляции.

Определение: Коэффициентом корреляции случайных величин называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

В отличие от корреляционного момента , коэффициент корреляции – безразмерная величина, т.е. не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом преимущество перед .

Очевидно, что коэффициент корреляции независимых случайных величин X и Y равен нулю (т.к. равен нулю корреляционный момент).

Теорема: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

Доказательство: Как известно из предыдущей теоремы, Раскроем модуль и получим:

Если , то, поделив это двойное неравенство на , получим:

.

А это и означает, что:

Если же , тогда , следовательно, , что не противоречит доказанному неравенству.

4.6. Независимость и некоррелированность.

Определение: Две случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. Если же их корреляционный момент равен нулю, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Справедливы утверждения:

1. Две коррелированные величины также и зависимы.

Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что , а это противоречит условию, т.к. для коррелированных величин . Обратное не всегда верно.

2. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными ( , так и некоррелированными ( ).

Вывод: Из коррелированности следует зависимость, а из независимости следует некоррелированность.